定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期为2,且x∈(0,1)时,f(x)=2x4x+1.(1)求f(x)在[-1,1]上的解析式;(2)判断f(x)在(0,1)

定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期为2,且x∈(0,1)时,f(x)=2x4x+1.(1)求f(x)在[-1,1]上的解析式;(2)判断f(x)在(0,1)

题型:解答题难度:一般来源:不详
定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期为2,且x∈(0,1)时,f(x)=
2x
4x+1

(1)求f(x)在[-1,1]上的解析式;
(2)判断f(x)在(0,1)上的单调性;
(3)当λ为何值时,方程f(x)=λ在x∈[-1,1]上有实数解.
答案
(1)∵f(x)是x∈R上的奇函数,
∴f(0)=0.
又∵2为最小正周期,
∴f(1)=f(1-2)=f(-1)=-f(1)=0.
设x∈(-1,0),则-x∈(0,1),f(-x)=
2-x
4-x+1
=
2x
4x+1
=-f(x)

f(x)=-
2x
4x+1

f(x)=





-
2x
4x+1
,x∈(-1,0)
0,x∈{-1,0,1}
2x
4x+1
,x∈(0,1).


(2)设0<x1<x2<1,
f(x1)-f(x2)=
(2x1-2x2)+(2x1+2x2-2x2+2x1)
(4x1+1)(4x2+1)
=
(2x1-2x2)(1-2x1+x2)
(4x1+1)(4x2+1)
>0

∴f(x)在(0,1)上为减函数.

(3)∵f(x)在(0,1)上为减函数,
21
41+1
<f(x)<
20
40+1

即f(x)∈(
2
5
1
2
).
同理,x在(-1,0)上时,f(x)∈(-
1
2
-
2
5
).
又f(-1)=f(0)=f(1)=0,
∴当λ∈(-
1
2
-
2
5
)∪(
2
5
1
2
)或λ=0时,f(x)=λ在[-1,1]内有实数解.
举一反三
对一切实数x,不等式x2+a|x|+1≥0恒成立,则实数a的取值范围是(  )
A.(-∞,-2)B.[-2,+∞)C.[-2,2]D.[0,+∞)
题型:单选题难度:一般| 查看答案
f(x)=
ex
a
+
a
ex
在R上是偶函数,则a
=______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
【普通高中】已知函数f(x)的定义域为{x|x∈R,x≠0},且f(x)为奇函数.当x<0时,f(x)=x2+2x+1,那么当x>0时,f(x)的递减区间是(  )
A.[0,1]B.[1,+∞)C.[1,2]D.[
1
2
,+∞)
题型:单选题难度:简单| 查看答案
已知f(x)=x2|x-a|为定义在R上的偶函数,a为实常数,
(1)求a的值;
(2)若已知g(x)为定义在R上的奇函数,判断并证明函数y=f(x)•g(x)的奇偶性.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
定义在R上的奇函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,满足f(1)=0,则不等式f(x)>0的解集为______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
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