已知f′(x)是f(x)的导函数,f(x)=ln(x+1)+m-2f′(1),m∈R,且函数f(x)的图象过点(0,-2).(1)求函数y=f(x)的表达式;(
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已知f′(x)是f(x)的导函数,f(x)=ln(x+1)+m-2f′(1),m∈R,且函数f(x)的图象过点(0,-2).(1)求函数y=f(x)的表达式;(
题型:解答题
难度:一般
来源:茂名二模
已知f′(x)是f(x)的导函数,f(x)=ln(x+1)+m-2f′(1),m∈R,且函数f(x)的图象过点(0,-2).
(1)求函数y=f(x)的表达式;
(2)设
g(x)=
1
x+1
+af(x),(a≠0)
,若g(x)>0在定义域内恒成立,求实数a的取值范围.
答案
(1)由已知得
f′(x)=
1
x+1
,∴
f′(1)=
1
2
又f(0)=-2∴
ln1+m-2×
1
2
=-2
∴m=-1,∴f(x)=ln(x+1)-2.
(2)由(1)得
g(x)=
1
x+1
+a[ln(x+1)-2]
定义域为(-1,+∞),
∴
g′(x)=-
1
(x+1)
2
+
a
x+1
=
ax+a-1
(x+1)
2
.
∵a≠0
令g"(x)=0得
x=
1-a
a
=-1+
1
a
①当a>0时
-1+
1
a
∈(-1,+∞)
,且在区间
(-1+
1
a
,+∞)
上g,(x)>0,
在区
(-1,-1+
1
a
)
上g′(x)<0.
∴
g(x)在x=-1+
1
a
处取得极小值,也是最小值.
∴
g(x)=g(-1+
1
a
)=a-a(ln a+2)
由a+a(-lna-2)>0得
a<
1
e
.∴
0<a<
1
e
.
②当a<0时
-1+
1
a
∉(-1,+∞)
,
在区间(-1,+∞)上,g′(x)<0恒成立.
g(x)在区间(-1,+∞)上单调递减,没有最值
综上得,a的取值范围是
0<a<
1
e
.
举一反三
已知f(x),g(x)都是定义域内的非奇非偶函数,而f(x)•g(x)是偶函数,写出满足条件的一组函数,f(x)=______;g(x)=______.
题型:填空题
难度:简单
|
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函数
f(x)=
3
cos(2x-θ)-sin(2x-θ)(0<θ<
π
2
)
是偶函数.
(1)求θ;
(2)将函数y=f(x)的图象先纵坐标不变,横坐标缩短为原来的
2
3
倍,再向左平移
π
18
个单位,然后向上平移1个单位得到y=g(x)的图象,若关于x的方程
g(x)-
2
m
-1=0
在
x∈[-
π
6
,
7π
18
]
有且只有两个不同的根,求m的范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知f(x)=ax
2
+bx+3a+b是偶函数,且其定义域为[a-1,2a],则a=______,b=______.
题型:填空题
难度:一般
|
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已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,并且满足
f(x+2)=-
1
f(x)
,当2≤x≤3
时,f(x)=x,则f(105.5)=( )
A.-2.5
B.2.5
C.5.5
D.-5.5
题型:单选题
难度:一般
|
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若函数f(x)=ax
2
+(a
2
-1)x-3a为偶函数,其定义域为[4a+2,a
2
+1],则f(x)的最小值为( )
A.-1
B.0
C.2
D.3
题型:单选题
难度:一般
|
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