已知f′(x)是f(x)的导函数,f(x)=ln(x+1)+m-2f′(1),m∈R,且函数f(x)的图象过点(0,-2).(1)求函数y=f(x)的表达式;(

已知f′(x)是f(x)的导函数,f(x)=ln(x+1)+m-2f′(1),m∈R,且函数f(x)的图象过点(0,-2).(1)求函数y=f(x)的表达式;(

题型:解答题难度:一般来源:茂名二模
已知f′(x)是f(x)的导函数,f(x)=ln(x+1)+m-2f′(1),m∈R,且函数f(x)的图象过点(0,-2).
(1)求函数y=f(x)的表达式;
(2)设g(x)=
1
x+1
+af(x),(a≠0)
,若g(x)>0在定义域内恒成立,求实数a的取值范围.
答案
(1)由已知得f′(x)=
1
x+1
,∴f′(1)=
1
2

又f(0)=-2∴ln1+m-2×
1
2
=-2

∴m=-1,∴f(x)=ln(x+1)-2.
(2)由(1)得g(x)=
1
x+1
+a[ln(x+1)-2]

定义域为(-1,+∞),
g′(x)=-
1
(x+1)2
+
a
x+1
=
ax+a-1
(x+1)2

∵a≠0
令g"(x)=0得x=
1-a
a
=-1+
1
a

①当a>0时-1+
1
a
∈(-1,+∞)
,且在区间(-1+
1
a
,+∞)
上g,(x)>0,
在区(-1,-1+
1
a
)
上g′(x)<0.
g(x)在x=-1+
1
a
处取得极小值,也是最小值.
g(x)=g(-1+
1
a
)=a-a(ln a+2)

由a+a(-lna-2)>0得a<
1
e
.∴0<a<
1
e

②当a<0时-1+
1
a
∉(-1,+∞)

在区间(-1,+∞)上,g′(x)<0恒成立.
g(x)在区间(-1,+∞)上单调递减,没有最值
综上得,a的取值范围是0<a<
1
e
举一反三
已知f(x),g(x)都是定义域内的非奇非偶函数,而f(x)•g(x)是偶函数,写出满足条件的一组函数,f(x)=______;g(x)=______.
题型:填空题难度:简单| 查看答案
函数f(x)=


3
cos(2x-θ)-sin(2x-θ)(0<θ<
π
2
)
是偶函数.
(1)求θ;
(2)将函数y=f(x)的图象先纵坐标不变,横坐标缩短为原来的
2
3
倍,再向左平移
π
18
个单位,然后向上平移1个单位得到y=g(x)的图象,若关于x的方程g(x)-
2
m
-1=0
x∈[-
π
6
18
]
有且只有两个不同的根,求m的范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数,且其定义域为[a-1,2a],则a=______,b=______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,并且满足f(x+2)=-
1
f(x)
,当2≤x≤3
时,f(x)=x,则f(105.5)=(  )
A.-2.5B.2.5C.5.5D.-5.5
题型:单选题难度:一般| 查看答案
若函数f(x)=ax2+(a2-1)x-3a为偶函数,其定义域为[4a+2,a2+1],则f(x)的最小值为(  )
A.-1B.0C.2D.3
题型:单选题难度:一般| 查看答案
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