已知函数f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,当x∈[0,1]时,f(x)=2x+ln(x+1)-1.(1)求函数f(x)的解析式;并判断f(x)在[-1,1
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,当x∈[0,1]时,f(x)=2x+ln(x+1)-1. (1)求函数f(x)的解析式;并判断f(x)在[-1,1]上的单调性(不要求证明); (2)解不等式f(2x-1)+f(1-x2)≥0. |
答案
(1)设-1≤x≤0,则0≤-x≤1, 所以f(-x)=2-x+ln(1-x)-1=+ln(1-x)-1.(3分) 又f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x), 于是f(x)=-f(-x)=--ln(1-x)+1.(5分) 故f(x)= | --ln(1-x)+1,(-1≤x<0) | 2x+ln(x+1)-1 (0≤x≤1). |
| | (6分) 判断:f(x)在[-1,1]上是增函数;(8分) (2)因奇函数f(x)在[-1,1]上是增函数, 所以f(2x-1)+f(1-x2)≥0⇔f(2x-1)≥f(x2-1) (10分) ⇔ | 2x-1≥x2-1 | -1≤2x-1≤1 | -1≤x2-1≤1 |
| | ⇔(14分) 解得0≤x≤1,所以不等式的解集为{x|0≤x≤1}.(16分) |
举一反三
函数f(x)=是定义在(-1,1)的奇函数,且f()=. (1)确定f(x)的解析式; (2)判断函数在(-1,1)上的单调性; (3)解不等式f(t-1)+f(t)<0. |
已知函数y=f(x)(x∈R)是奇函数,那么函数F(x)=xf(x)(x∈R)( )A.是奇函数 | B.是偶函数 | C.既是奇函数又是偶函数 | D.既不是奇函数也不是偶函数 |
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已知函数f(x)是正比例函数,函数g(x)是反比例函数,且f(1)=1,g(1)=2. (1)求函数f(x)和g(x); (2)判断函数f(x)+g(x)的奇偶性. |
已知函数f(x)=x2+bx+c(b,c∈R),对任意的x∈R,恒有f′(x)≤f(x). (Ⅰ)证明:当x≥0时,f(x)≤(x+c)2; (Ⅱ)若对满足题设条件的任意b,c,不等式f(c)-f(b)≤M(c2-b2)恒成立,求M的最小值. |
设f(x)=是R上的奇函数. (1)求实数a的值; (2)若g(x)与f(x)关于直线y=x对称,求g(x)的解析式和定义域. (3)求解关于x的不等式g(x)>log2(1+x). |
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