设函数f（x）=2x3-12x+c是定义在R上的奇函数．（Ⅰ）求c的值及函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间，并求函
题型：解答题难度：一般来源：不详
设函数f（x）=2x3-12x+c是定义在R上的奇函数．
（Ⅰ）求c的值及函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间，并求函数f（x）在[-1，3]上的最大值和最小值． |
答案
（Ⅰ）因为f（x）为奇函数，所以f（-x）=-f（x）．
即-2x3+12x+c=-2x3+12x-c．解得c=0．…（2分）
因为f"（x）=6x2-12，所以切线的斜率k=f"（1）=-6．…（3分）
因为f（1）=-10，所以切点为（1，-10）．…（4分）
所以切线方程为y+10=-6（x-1）．…（5分）
即6x+y+4=0．…（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f"（x）=6x2-12．
所以f′(x)=6x2-12=6(x+)(x-)．…（8分）
列表如下：
| x | (-∞，-) | - | (-，) | | (，+∞) | | f′（x） | + | 0 | - | 0 | + | | f（x） | ↗ | 极大值 | ↘ | 极小值 | ↗ |
举一反三
（1）设f（x）是定义在R上奇函数，且当x＞0时，f（x）=2x-3，则当x＜0时，f（x）表达式为______．
（2）设f（x）是定义在R上奇函数，且f（x+1）=-f（x），当x∈（0，1）时，f（x）=2x-3，则x∈（3，4）时，f（x）表达式为______． | | 已知f（x）=g（x）+2，且g（x）为奇函数，若f（2）=3，则f（-2）=______． | 已知f1（x）=cosx，f2（x）=f1′（x），f3（x）=f2′（x），f4（x）=f3′（x）…fn（x）=fn-1′（x），则f2005（x）=（ ）| A．sinx | B．-sinx | C．cosx | D．-cosx |
| 已知函数y=f（x）=（a，b，c∈R，a＞0，b＞0）是奇函数，当x＞0时，f（x）有最小值2，其中b∈N，且f（1）＜
（1）试求函数f（x）的解析式；
（2）问函数f（x）图象上是否存在关于点（1，0）对称的两点，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． | （文）设函数y=f（x）=x（x-a）（x-b）（a、b∈R）．
（Ⅰ）若a≠b，ab≠0，过两点（0，0）、（a，0）的中点作与x轴垂直的直线，此直线与函数y=f（x）的图象交于点P（x0，f（x0）），求证：函数y=f（x）在点P处的切 线过点（，0）；
（Ⅱ）若a=b（a≠0），且当x∈[0，|a|+1]时f（x）＜2a2恒成立，求实数a的取值范围． |
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