设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R），已知不论α，β为何实数恒有f（sinα）≥0和f（2+cosβ）≤0．（Ⅰ）求f（1）的值；（Ⅱ）求证：
题型：解答题难度：一般来源：不详
设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R），已知不论α，β为何实数恒有f（sinα）≥0和f（2+cosβ）≤0．
（Ⅰ）求f（1）的值；
（Ⅱ）求证：c≥3a；
（Ⅲ）若a＞0，函数f（sinα）的最大值为8，求b的值． |
答案
（本小题满分16分）
（1）取α=，得f（sinα）=f（1）=a+b+c≥0
取β=π，得f（2+cosβ）=f（1）=a+b+c≤0
∴f（1）=0
（2）证：取β=0，得f（2+cosβ）=f（3）=9a+3b+c≤0
由（1）得f（1）=a+b+c=0，∴b=-（a+c）代入得9a-3（a+c）+c≤0
∴c≥3a
（3）设sinx=t，则-1≤t≤1又b=-（a+c），
∴f（sinx）=f（t）=at2-（a+c）t+c=a(t-)2+c-2，
∵a＞0，c≥3a，
∴≥=2，
∴二次函数f（t）在t∈[-1，1]上递减
∴t=-1时，f（x）最大=a+（a+c）+c=8
∴a+c=4，b=-（a+c）=-4． |
举一反三
函数y=f（x）是R上的偶函数，且在（-∞，0]上是增函数，若f（a）≤f（2），则实数a的取值范围是（ ）| A．a≤2 | B．a≥-2 | C．-2≤a≤2 | D．a≤-2或a≥2 |
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| 设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b为常数），则：f（-1）=______． |
| 定义域为[a，b]的函数y=f（x）图象的两个端点为A，B，向量=λ +(1-λ) ，M（x，y）是f（x）图象上任意一点，其中x=λ+（1-λ），λ∈[0，1]．若不等式|MN|≤k恒成立，则称函数f（x）在[a，b]上满足“k范围线性近似”，其中最小的正实数k称为该函数的线性近似阀值．下列定义在[1，2]上函数中，线性近似阀值最小的是（ ） |
| 已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2-2x，则当x＜0时，f（x）=______． |
| 函数f（x）在R上为奇函数，且x＞0时，f（x）=+1，则当x＜0时，f（x）=______． |
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