若f（x）具有性质：①f（x）为偶函数，②对任意x∈R，都有f（π4-x）=f（π4+x），则f（x）的解析式可以是______．（只写一个即可）

题型：填空题难度：一般来源：不详

若f（x）具有性质：①f（x）为偶函数，②对任意x∈R，都有f（

-x）=f（

+x），则f（x）的解析式可以是______．（只写一个即可）

答案

∵若f（x）具有性质：①f（x）为偶函数，
∴说明有f（-x）=f（x）；
∵②对任意x∈R，都有f（

-x）=f（

+x）
∴说明有：f（

+x）=f（x），是周期函数．
我们从三角函数中寻找即得：f（x）=a或f（x）=cos4x或f（x）=|sin2x|等．
故填：f（x）=a或f（x）=cos4x或f（x）=|sin2x|等．

举一反三

已知函数y=f（x）是偶函数，其图象与x轴有四个交点，则f（x）=0的所有实数根之和为______．

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定义在实数集R上的奇函数f（x），当x＜0时，f（x）=x²-x，则当x＞0时，f（x）的解析式为 ______．

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函数f(x)=

ax+b

1+x2

是定义在（-1，1）上的奇函数，且f(

．
（1）确定函数的解析式；
（2）证明函数f（x）在（-1，1）上是增函数；
（3）解不等式f（t-1）+f（t）＜0．

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已知函数f（x）的定义域为R，对任意s，t∈R都有f（s+t）=f（s）+f（t），且对任意x＞0，都有f（x）＜0，且已知f（3）=-3．
（1）求证：f（x）是R上的单调递减函数；
（2）求证：f（x）是奇函数；
（3）求f（x）在[m，n]（m，n∈Z且m＞0）上的值域．

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已知函数f（x）是定义在（-∞，+∞）上的奇函数，且x＞0时，f（x）=x（1+x）．
（1）求f（-2）的值；
（2）当x＜0时，求f（x）的解析式．

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