已知函数f(x)的定义域为R,对任意s,t∈R都有f(s+t)=f(s)+f(t),且对任意x>0,都有f(x)<0,且已知f(3)=-3.(1)求证:f(x)
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)的定义域为R,对任意s,t∈R都有f(s+t)=f(s)+f(t),且对任意x>0,都有f(x)<0,且已知f(3)=-3. (1)求证:f(x)是R上的单调递减函数; (2)求证:f(x)是奇函数; (3)求f(x)在[m,n](m,n∈Z且m>0)上的值域. |
答案
(1)在R任取x1,x2,且x1<x2,则f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)+f(x1),…(1分) ∴f(x2)-f(x1)=f(x2-x1).…(2分) ∵x2-x1>0,∴f(x2-x1)<0,…(3分)∴f(x2)-f(x1)<0,即f(x2)<f(x1),∴f(x)是R上的单调递减函数. …(4分) (2)令s=t=0,则f(0)=f(0)+f(0),∴f(0)=0.…(5分) 又令s=x,t=-x,则f(0)=f(x)+f(-x),∴f(x)+f(-x)=0,…(6分) ∴f(-x)=-f(x),∴f(x)是奇函数.…(7分) (3)∵f(x)是R上的单调递减函数,∴f(x)在[m,n]上也为减函数,…(8分) ∴f(x)在[m,n]上的最大值为f(m),最小值为f(n).…(9分) 又m,n∈Z,∴f(m)=f[1+(m-1)]=f(1)+f(m-1)=2f(1)+f(m-2)=…=mf(1). 同理f(n)=nf(1),…(11分) 已知f(3)=-3得f(3)=3f(1)=-3,∴f(1)=-1,…(12分)∴f(n)=-n,f(m)=-m,…(13分) 所以,函数的值域为[-n,-m].…(14分) |
举一反三
已知函数f(x)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数,且x>0时,f(x)=x(1+x). (1)求f(-2)的值; (2)当x<0时,求f(x)的解析式. |
定义在R上的偶函数满足:对任意x1,x2∈[0,+∞),且x1≠x2都有>0,则( )A.f(3)<f(-2)<f(1) | B.f(1)<f(-2)<f(3) | C.f(-2)<f(1)<f(3) | D.f(3)<f(1)<f(-2) |
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已知定义域为R的函数f(x)满足:f(x+4)=f(x),且f(x)-f(-x)=0,当-2≤x<0时,f(x)=2-x,则f(2013)等于( ) |
下列函数是奇函数的是( )A.y=|x| | B.y=3-x | C.y= | D.y=-x2+4 |
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设f(x)是定义在实数集R上的函数,若函数y=f(x+1)为偶函数,且当x≥1时,有f(x)=1-2x,则f(),f(),f()的大小关系是______. |
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