设直线x=1是函数f(x)的图象的一条对称轴,对于任意x∈R,f(x+2)=-f(x),当-1≤x≤1时,f(x)=x3.(1)证明:f(x)是奇函数;(2)当

设直线x=1是函数f(x)的图象的一条对称轴,对于任意x∈R,f(x+2)=-f(x),当-1≤x≤1时,f(x)=x3.(1)证明:f(x)是奇函数;(2)当

题型:解答题难度:一般来源:不详
设直线x=1是函数f(x)的图象的一条对称轴,对于任意x∈R,f(x+2)=-f(x),当-1≤x≤1时,f(x)=x3
(1)证明:f(x)是奇函数;
(2)当x∈[3,7]时,求函数f(x)的解析式.
答案
(1)证明∵x=1是f(x)的图象的一条对称轴,
∴f(x+2)=f(-x).又∵f(x+2)=-f(x),
∴f(x)=-f(x+2)=-f(-x),即f(-x)=-f(x).∴f(x)是奇函数.
(2)解∵f(x+2)=-f(x),∴f(x+4)=f[(x+2)+2]
=-f(x+2)=f(x),∴T=4.若x∈[3,5],则(x-4)∈[-1,1],
∴f(x-4)=(x-4)3.又∵f(x-4)=f(x),
∴f(x)=(x-4)3,x∈[3,5].若x∈(5,7],
则(x-4)∈(1,3],f(x-4)=f(x).
由x=1是f(x)的图象的一条对称轴可知f[2-(x-4)]=f(x-4)
且2-(x-4)=(6-x)∈[-1,1],
故f(x)=f(x-4)=f(6-x)=(6-x)3=-(x-6)3
综上可知f(x)=





(x-4)3           3≤x≤5
-(x-6)3        5<x≤7.
举一反三
已知函数f(x)=loga[(
1
a
-2)x+1]在区间[1,3]上的函数值大于0恒成立,则实数a的取值范围是(  )
A.(1,+∞)B.(0,
3
5
C.(
1
2
,1)
D.(
1
2
3
5
题型:单选题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=ln(ex+k)(k为常数)是实数集R上的奇函数
(1)求k的值
(2)若函数g(x)=λf(x)+sinx是区间[-1,1]上的减函数,且g(x)≤t2+λt+1在x∈[-1,1]上恒成立,求t的取值范围
(3)讨论关于x的方程
lnx
f(x)
=x2-2ex+m
的根的个数.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
如果f(x)为偶函数,且f(x)导数存在,则f′(0)的值为(  )
A.2B.1C.0D.-1
题型:单选题难度:简单| 查看答案
已知函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+1)=f(x-1),且x∈[-1,1]时,f(x)=|x|,则函数y=f(x)与y=log5x的图象的交点的个数为(  )
A.1B.2C.3D.4
题型:单选题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=(2-a)lnx+
1
x
+2ax(a∈R).
(Ⅰ)当a=0时,求f(x)的极值;
(Ⅱ)当a<0时,求f(x)单调区间;
(Ⅲ)若对任意a∈(-3,-2)及x1,x2∈[1,3],恒有(m+ln3)a-2ln3>|f(x1)-f(x2)|成立,求实数m的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
最新试题
热门考点

超级试练试题库

© 2017-2019 超级试练试题库,All Rights Reserved.