设直线x=1是函数f（x）的图象的一条对称轴，对于任意x∈R，f（x+2）=-f（x），当-1≤x≤1时，f（x）=x3．（1）证明：f（x）是奇函数；（2）当
题型：解答题难度：一般来源：不详
设直线x=1是函数f（x）的图象的一条对称轴，对于任意x∈R，f（x+2）=-f（x），当-1≤x≤1时，f（x）=x3．
（1）证明：f（x）是奇函数；
（2）当x∈[3，7]时，求函数f（x）的解析式． |
答案
（1）证明∵x=1是f（x）的图象的一条对称轴，
∴f（x+2）=f（-x）．又∵f（x+2）=-f（x），
∴f（x）=-f（x+2）=-f（-x），即f（-x）=-f（x）．∴f（x）是奇函数．
（2）解∵f（x+2）=-f（x），∴f（x+4）=f[（x+2）+2]
=-f（x+2）=f（x），∴T=4．若x∈[3，5]，则（x-4）∈[-1，1]，
∴f（x-4）=（x-4）3．又∵f（x-4）=f（x），
∴f（x）=（x-4）3，x∈[3，5]．若x∈（5，7]，
则（x-4）∈（1，3]，f（x-4）=f（x）．
由x=1是f（x）的图象的一条对称轴可知f[2-（x-4）]=f（x-4）
且2-（x-4）=（6-x）∈[-1，1]，
故f（x）=f（x-4）=f（6-x）=（6-x）3=-（x-6）3．
综上可知f（x）= | | (x-4)3 3≤x≤5 | | -(x-6)3 5＜x≤7. |
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举一反三
已知函数f（x）=loga[（-2）x+1]在区间[1，3]上的函数值大于0恒成立，则实数a的取值范围是（ ）| A．（1，+∞） | B．（0，） | C．（，1） | D．（，） |
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已知函数f（x）=ln（ex+k）（k为常数）是实数集R上的奇函数
（1）求k的值
（2）若函数g（x）=λf（x）+sinx是区间[-1，1]上的减函数，且g（x）≤t2+λt+1在x∈[-1，1]上恒成立，求t的取值范围
（3）讨论关于x的方程=x2-2ex+m的根的个数． |
| 如果f（x）为偶函数，且f（x）导数存在，则f′（0）的值为（ ） |
| 已知函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+1）=f（x-1），且x∈[-1，1]时，f（x）=|x|，则函数y=f（x）与y=log5x的图象的交点的个数为（ ） |
已知函数f（x）=（2-a）lnx++2ax（a∈R）．
（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的极值；
（Ⅱ）当a＜0时，求f（x）单调区间；
（Ⅲ）若对任意a∈（-3，-2）及x1，x2∈[1，3]，恒有（m+ln3）a-2ln3＞|f（x1）-f（x2）|成立，求实数m的取值范围． |
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