设直线x=1是函数f(x)的图象的一条对称轴,对于任意x∈R,f(x+2)=-f(x),当-1≤x≤1时,f(x)=x3.(1)证明:f(x)是奇函数;(2)当
题型:解答题难度:一般来源:不详
设直线x=1是函数f(x)的图象的一条对称轴,对于任意x∈R,f(x+2)=-f(x),当-1≤x≤1时,f(x)=x3. (1)证明:f(x)是奇函数; (2)当x∈[3,7]时,求函数f(x)的解析式. |
答案
(1)证明∵x=1是f(x)的图象的一条对称轴, ∴f(x+2)=f(-x).又∵f(x+2)=-f(x), ∴f(x)=-f(x+2)=-f(-x),即f(-x)=-f(x).∴f(x)是奇函数. (2)解∵f(x+2)=-f(x),∴f(x+4)=f[(x+2)+2] =-f(x+2)=f(x),∴T=4.若x∈[3,5],则(x-4)∈[-1,1], ∴f(x-4)=(x-4)3.又∵f(x-4)=f(x), ∴f(x)=(x-4)3,x∈[3,5].若x∈(5,7], 则(x-4)∈(1,3],f(x-4)=f(x). 由x=1是f(x)的图象的一条对称轴可知f[2-(x-4)]=f(x-4) 且2-(x-4)=(6-x)∈[-1,1], 故f(x)=f(x-4)=f(6-x)=(6-x)3=-(x-6)3. 综上可知f(x)= | (x-4)3 3≤x≤5 | -(x-6)3 5<x≤7. |
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举一反三
已知函数f(x)=loga[(-2)x+1]在区间[1,3]上的函数值大于0恒成立,则实数a的取值范围是( )A.(1,+∞) | B.(0,) | C.(,1) | D.(,) |
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已知函数f(x)=ln(ex+k)(k为常数)是实数集R上的奇函数 (1)求k的值 (2)若函数g(x)=λf(x)+sinx是区间[-1,1]上的减函数,且g(x)≤t2+λt+1在x∈[-1,1]上恒成立,求t的取值范围 (3)讨论关于x的方程=x2-2ex+m的根的个数. |
如果f(x)为偶函数,且f(x)导数存在,则f′(0)的值为( ) |
已知函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+1)=f(x-1),且x∈[-1,1]时,f(x)=|x|,则函数y=f(x)与y=log5x的图象的交点的个数为( ) |
已知函数f(x)=(2-a)lnx++2ax(a∈R). (Ⅰ)当a=0时,求f(x)的极值; (Ⅱ)当a<0时,求f(x)单调区间; (Ⅲ)若对任意a∈(-3,-2)及x1,x2∈[1,3],恒有(m+ln3)a-2ln3>|f(x1)-f(x2)|成立,求实数m的取值范围. |
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