设函数f（x）=x-1x，对任意x∈[1，+∞），f（mx）+mf（x）＜0恒成立，则实数m的取值范围是______．

题型：填空题难度：一般来源：天津

设函数f（x）=x-

1

x

，对任意x∈[1，+∞），f（mx）+mf（x）＜0恒成立，则实数m的取值范围是______．

答案

已知f（x）为增函数且m≠0，
当m＞0，由复合函数的单调性可知f（mx）和mf（x）均为增函数，
此时不符合题意．
当m＜0时，有mx-

1

mx

+mx-

m

x

＜0⇒2mx-(m+

1

m

)•

1

x

＜0⇒1+

1

m2

＜2x2
因为y=2x²在x∈[1，+∞）上的最小值为2，
所以1+

1

m2

＜2，
即m²＞1，解得m＜-1或m＞1（舍去）．
故答案为：m＜-1．