已知函数f(x)=14x+2(x∈R).(Ⅰ)证明f(x)+f(1-x)=12;(Ⅱ)若数列{an}的通项公式为an=f(nm)(m∈N*,n=1,2,…,m)

已知函数f(x)=14x+2(x∈R).(Ⅰ)证明f(x)+f(1-x)=12;(Ⅱ)若数列{an}的通项公式为an=f(nm)(m∈N*,n=1,2,…,m)

题型:解答题难度:一般来源:广东模拟
已知函数f(x)=
1
4x+2
(x∈R)

(Ⅰ)证明f(x)+f(1-x)=
1
2

(Ⅱ)若数列{an}的通项公式为an=f(
n
m
)(m∈N*,n=1,2,…,m)
,求数列{an}的前m项和Sm
(Ⅲ)设数列{bn}满足:b1=
1
3
bn+1=
b2n
+bn
,设Tn=
1
b1+1
+
1
b2+1
+…+
1
bn+1
,若(Ⅱ)中的Sm满足对任意不小于2的正整数n,Sm<Tn恒成立,试求m的最大值
答案
(Ⅰ)证明:∵f(x)=
1
4x+2

f(1-x)=
1
41-x+2
=
4x
4+2•4x
=
4x
2(4x+2)

f(x)+f(1-x)=
1
4x+2
+
4x
2(4x+2)
=
2+4x
2(4x+2)
=
1
2

故答案为
1
2
..
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知f(x)+f(1-x)=
1
2

f(
k
m
)+f(1-
k
m
)=
1
2
(1≤k≤m-1)

f(
k
m
)+f(
m-k
m
)=
1
2

ak+am-k=
1
2

am=f(
m
m
)=f(1)=
1
6

又Sm=a1+a2++am-1+am①Sm=am-1+am-2++a1+am
①+②得2Sm=(m-1)×
1
2
+2am=
m
2
-
1
6

∴答案为Sm=
1
12
(3m-1)

(Ⅲ)∵b1=
1
3
bn+1=
b2n
+bn=bn(bn+1)

∴对任意n∈N*,bn>0④
1
bn+1
=
1
bn(bn+1)
=
1
bn
-
1
bn+1

1
bn+1
=
1
bn
-
1
bn+1

Tn=(
1
b1
-
1
b2
)+(
1
b2
-
1
b3
)++(
1
bn
-
1
bn+1
)=
1
b1
-
1
bn+1
=3-
1
bn+1

∵bn+1-bn=bn2>0,∴bn+1>bn
∴数列{bn}是单调递增数列.∴Tn关于n递增,
∴当n≥2,且n∈N*时,Tn≥T2
b1=
1
3
b2=
1
3
(
1
3
+1)=
4
9
b3=
4
9
(
4
9
+1)=
52
81

TnT2=3-
1
b3
=
75
52
.(14分)
由题意Sm
75
52
,即
1
12
(3m-1)<
75
52

m<
238
39
=6
4
39
∴m的最大值为6.
故答案为6.
举一反三
设定义在区间(-b,b)上的函数f(x)=lg
1+ax
1-2x
是奇函数(a,b∈R,且a≠-2),则ab的取值范围是(  )
A.(1 


2
]
B.[


2
2
 


2
]
C.(1 


2
)
D.(0 


2
)
题型:单选题难度:简单| 查看答案
已知函数y=f(x)是定义在上的奇函数,且当x>0时,f(x)=2x-1-3,则f(f(1))=______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
函数f(x)是定义域为R的奇函数,且x>0时,f(x)=9x-3x-1,则函数f(x)的零点个数是(  )
A.1B.2C.3D.4
题型:单选题难度:简单| 查看答案
设函数f(x)=





2x(x<0)
g(x)(x>0)
,若f(x)是奇函数,则g(2)的值是 ______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
设f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=2x+2x+m,则f(-1)=______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
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