设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x+2)=-f(x).当x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2,(1)求证:f(x)是周期函数;(2)当
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设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x+2)=-f(x).当x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2, (1)求证:f(x)是周期函数; (2)当x∈[2,4]时,求f(x)的解析式; (3)计算f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 012). |
答案
解:(1)∵f(x+2)=-f(x), ∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x), ∴f(x)是周期为4的周期函数. (2)当x∈[-2,0]时,-x∈[0,2], 由已知得f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2, 又f(x)是奇函数, ∴f(-x)=-f(x)=-2x-x2, ∴f(x)=x2+2x, 又当x∈[2,4]时,x-4∈[-2,0], ∴f(x-4)=(x-4)2+2(x-4), 又f(x)是周期为4的周期函数, ∴f(x)=f(x-4) =(x-4)2+2(x-4) =x2-6x+8, 从而求得x∈[2,4]时,f(x)=x2-6x+8; (3)f(0)=0,f(2)=0,f(1)=1,f(3)=-1, 又f(x)是周期为4的周期函数, ∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=…=f(2 008)+f(2 009)+f(2 010)+f(2 011)+f(2 012)=0, ∴f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 012)=0。 |
举一反三
定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期是π,且当x∈[0,]时,f(x)=sinx,则f()的值为( )。 |
若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)+ g(x)=ex,则 g(x)= |
[ ] |
A.ex-e-x B. C. D. |
若奇函数f(x)=sinx+c的定义域为[a,b],则a+b+c=( )。 |
若f(x)=3x+a·3-x是奇函数,则a=( )。 |
设a>0,是R上的偶函数。 (1)求a的值; (2)证明:f(x)在(0,+∞)上是增函数。 |
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