已知函数f(x)=x|x|-，（1）化简f(x)的解析式，并画出f(x)的图象；（2）判断f(x)的奇偶性并证明你的结论。

题型：解答题难度：一般来源：月考题

已知函数f(x)=x|x|-

，
（1）化简f(x)的解析式，并画出f(x)的图象；
（2）判断f(x)的奇偶性并证明你的结论。

答案

（1）解：

，
画出函数f(x)的图象如右图，除去点（0，1）和（0，-1）。

（2）解：f (x)为定义域上的奇函数。
证明：设x＞0时，则-x＜0，
∴f(-x)=-(-x)²+1=-x²+1=-(x²-1)=-f(x)；
设x＜0时，则-x＞0，
∴f(-x)=(-x)²-1=x²-1=-(-x²+1)=-f(x)，
∴f(x)是定义域上的奇函数。

举一反三

下列函数为偶函数的是[ ]
A、

B、

C、

D、

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设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2^x+2x+b（b为常数），则f（-2）=

[ ]
A、-7
B、-5
C、5
D、7

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下图展示了一个由区间（0，4）到实数集R的映射过程：区间（0，4）中的实数m对应数轴上的点M（如图1），将线段AB围成一个正方形，使两端点A、B恰好重合（如图2），再将这个正方形放在平面直角坐标系中，使其中两个顶点在y轴上，点A的坐标为（0，4）（如图3），若图3中直线AM与x轴交于点N（n，0），则m的象就是n，记作f(m)=n。
现给出以下命题：
①f(2)=0；②f(x)的图象关于点（2，0）对称；③f(x)在（3，4）上为常数函数；
④f(x)为偶函数。
其中正确命题的个数有

[ ]
A．1
B．2
C．3
D．4

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设函数f(x)(x∈R)为奇函数，f(1)=

，f(x+2)=f(x)+f(2)，则f(5)= [ ]
A、0
B、1
C、

D、5

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已知y=f(x)，x∈(-a，a)，F(x)=f(x)+f(-x)，则F(x)是[ ]
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数

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