设函数。（1）判断函数的奇偶性，并给予证明；（2）证明：函数在其定义域上是单调增函数。

题型：解答题难度：一般来源：0119 期末题

设函数。
（1）判断函数的奇偶性，并给予证明；
（2）证明：函数在其定义域上是单调增函数。

答案

（1）解：是奇函数；
由，得x∈R，即所给函数的定义域为R，显然它关于原点对称，
又∵，
∴函数是奇函数。
（2）证明：设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
则，
令，
则


，
∵x₁-x₂＜0，，，，
∴t₁-t₂＜0，∴0＜t₁＜t₂，
∴，
∴f (x₁)-f (x₂)＜lg1=0，即f (x₁)＜f (x₂)，
∴ 函数f(x)在R上是单调增函数。