设二次函数满足下列条件： ①当时, 的最小值为0，且恒成立； ②当时，恒成立．（I）求的值；（Ⅱ）求的解析式；（Ⅲ）求最大的实数m（m>1），使得存在实数

题型：解答题难度：简单来源：不详

设二次函数满足下列条件：
①当时, 的最小值为0，且恒成立；
②当时，恒成立．
（I）求的值；
（Ⅱ）求的解析式；
（Ⅲ）求最大的实数m（m>1），使得存在实数t，只要当时，就有成立

答案

(1) f(1)="2" ；(2) f(x)= (x+1)²； (3) m的最大值为9.

解析

试题分析：(1)在②中令x=1,有2≤f(1)≤2,故f(1)="2"
(2)由①知二次函数的关于直线x=-1对称,且开口向上
故设此二次函数为f(x)=a(x+1)²,(a>0),∵f(1)=2,∴a=
∴f(x)= (x+1)²
(3)假设存在t∈R,只需x∈[1,m],就有f(x+t)≤2x.
f(x+t)≤2x(x+t+1)²≤2xx²+(2t-2)x+t²+2t+1≤0.
令g(x)=x²+(2t-2)x+t²+2t+1,g(x)≤0,x∈[1,m].

∴m≤1－t+2≤1－(－4)+2=9
t=-4时,对任意的x∈[1,9]
恒有g(x)≤0, ∴m的最大值为9.（画图用数形结合视解答情况给分）
点评：典型题，本题综合考查“二次问题”，运用了从特殊到一般的思想方法。（3）作为存在性问题，转化成一个二次不等式在给定闭区间恒成立问题，借助于函数单调性，通过限制区间端点函数值的范围，得到不等式组，使问题得解。