已知开口向上的二次函数f(x),对任意x∈R,恒有f(2-x)=f(2+x)成立,设向量a=(|x+2|+|2x-1|,1),b=(1,2).求不等式f(a•b
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知开口向上的二次函数f(x),对任意x∈R,恒有f(2-x)=f(2+x)成立,设向量a=(|x+2|+|2x-1|,1),b=(1,2).求不等式f(a•b)<f(5)的解集. |
答案
由题意知f(x)在[2,+∞)上是增函数,…(1分) ∵•=|x+2|+|2x-1|+2≥2…(2分) ∴f(•)<f(5)⇔a•b<5⇔|x+2|+|2x-1|<3(*) …(3分) 当x≤-2时,不等式(*)可化为-(x+2)-(2x-1)<3, ∴x>-,…(5分) 此时x无解;…(6分) 当-2<x<时,不等式(*)可化为x+2-(2x-1)<3, ∴x>0,…(8分) 此时0<x<;…(9分) 当x≥时,不等式(*)可化为x+2+2x-1<3, ∴x<,…(11分) 此时≤x<.…(12分) 综上可知:不等式f(a•b)<f(5)的解集为(0,).…(13分) |
举一反三
从1,2,3,…9这9个整数中任意取3个不同的数作为二次函数f(x)=ax2+bx+c的系数,则满足∈Z的函数f(x)共有( ) |
已知二次函数f(x)=x2+ax+b(a、b∈R). (1)若函数f(x)无零点,求证:b>0; (2)若函数f(x)有两个零点,且两零点是相邻两整数,求证:f(-a)=(a2-1); (3)若函数f(x)有两非整数零点,且这两零点在相邻两整数之间,试证明:存在整数k,使得|f(k)|<. |
已知二次函数f(x)=ax2+bx+1为偶函数,且f(-1)=-1. (I)求函数f(x)的解析式; (II)若函数g(x)=f(x)+(2-k)x在区间[-2,2]上单调递减,求实数k的取值范围. |
实数a,b满足2a+b=5,则ab的最大值为______. |
不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0对x∈R恒成立,则a的取值范围为( )A.(-∞,-2)∪(2,+∞) | B.(-∞,-2)∪[2,+∞) | C.(-2,2) | D.(-2,2] |
|
最新试题
热门考点