已知函数f(x)=2mx2-2(4-m)x+1,g(x)=mx,设集合M={m|∀x∈R,f(x)与g(x)的值中至少有一个为正数}.(Ⅰ)试判断实数0是否在集
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=2mx2-2(4-m)x+1,g(x)=mx,设集合M={m|∀x∈R,f(x)与g(x)的值中至少有一个为正数}. (Ⅰ)试判断实数0是否在集合M中,并给出理由; (Ⅱ)求集合M. |
答案
(Ⅰ)∵m=0时,f(x)=-8x+1,g(x)=0,f(x)的值不恒为0. ∴0∉M. (Ⅱ)①当m>0时,g(x)=mx在x∈(0,+∞)时恒为正, ∴f(x)=2mx2-2(4-m)x+1>0对x≤0恒成立. ∴或△<0, 解得 0<m<8. ②当m<0时,g(x)=mx在x∈(-∞,0)时恒为正, ∴f(x)=2mx2-2(4-m)x+1>0对x≥0恒成立. ∵f(x)的图象开口向下且过点(0,1), ∴m∈ϕ. 综上,m的取值范围是(0,8). |
举一反三
已知函数y=2x2+5x-12,x∈[-1,2]的最大值和最小值分别是M和m,则M+m=______. |
函数f(x)=4x2-ax3在(0,2]上是增函数,则a的取值范围是______. |
已知a,b,c∈R,且a<b<c,函数f(x)=ax2+2bx+c满足f(1)=0,f(t)=-a,(t∈R且t≠1) (Ⅰ)求证:a<0,c>0; (Ⅱ) 求的取值范围. |
设二次函数f(x)=ax2+(2b+1)x-a-2(a,b∈R,a≠0)在[3,4]上至少有一个零点,求a2+b2的最小值. |
已知f(x)=-x2+2ax+1-a. (1)若f(x)在[0,1]上的最大值是2,求实数a的值; (2)设M={a∈R:f(x)在区间[-2,3]上的最小值为-1},试求M; (3)是否存在实数a使f(x)在[-4,2]上的值域为[-12.,13]?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由. |
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