已知f（x）是二次函数，且满足f（0）=1，f（x+1）-f（x）=2x，（1）求f（x）的解析式；（2）若f（x）在区间[2a，a+1]上单调，求a的取值范围
题型：解答题难度：一般来源：不详
已知f（x）是二次函数，且满足f（0）=1，f（x+1）-f（x）=2x，
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（x）在区间[2a，a+1]上单调，求a的取值范围． |
答案
（1）设函数f（x）=）=ax2+bx+c，∵f（0）=1，f（x+1）-f（x）=2x
∴c=1，且a（x+1）2+b（x+1）+c-（ax2+bx+c）=2x．
∴2a=2，a+b=0，解得a=1，b=-1，
故函数f（x）的表达式为f（x）=x2-x+1．
（2）由于f（x）在区间[2a，a+1]上单调，且二次函数f（x）的图象的对称轴为 x=1，
故有，或 ． 解得≤a＜1，或a≤0．
故a的取值范围为[，1）∪（-∞，0]． |
举一反三
已知二次函数f（x）满足f（x+1）-f（x）=2x且f（0）=1．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）在区间[-1，2]上求y=f（x）的值域． |
已知二次函数f（x）满足f（x-3）=f（-x-3），且该函数的图象与y轴交于点（0，-1），在x轴上截得的线段长为2．
（1）确定该二次函数的解析式；
（2）当x∈[-6，-1]时，求f（x）值域． |
| 已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，且f（1）=-a，又 a＞2c＞3b，则的取值范围是______． |
已知f（x）=ax2+bx+c．
（Ⅰ）当a=-1，b=2，c=4时，求f（x）≤1的解集；
（Ⅱ）当f（1）=f（3）=0，且当x∈（1，3）时，f（x）≤1恒成立，求实数a的最小值． |
| 已知函数f（x）=4x2-3kx-8在[3，10]上是增函数，则k的取值范围是______． |
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