已知二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x且f(0)=1.(Ⅰ)求f(x)的解析式;(Ⅱ)在区间[-1,2]上求y=f(x)的值域.
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x且f(0)=1. (Ⅰ)求f(x)的解析式; (Ⅱ)在区间[-1,2]上求y=f(x)的值域. |
答案
(I)令f(x)=ax2+bx+c(a≠0) 代入f(x+1)-f(x)=2x, 得:a(x+1)2+b(x+1)+c-(ax2+bx+c)=2x, 2ax+a+b=2x, ∴, 解得a=1,b=-1 又∵f(0)=c=1 ∴f(x)=x2-x+1; (II)∵函数f(x)=x2-x+1的图象是开口朝上,且以直线x=为对称轴的抛物线 故函数f(x)在区间[-1,]上为减函数,区间[,2]上为增函数 故当x=-1,或x=2时,函数f(x)取最大值3, 当x=时,函数f(x)取最小值 故y=f(x)的值域为[,3] |
举一反三
已知二次函数f(x)满足f(x-3)=f(-x-3),且该函数的图象与y轴交于点(0,-1),在x轴上截得的线段长为2. (1)确定该二次函数的解析式; (2)当x∈[-6,-1]时,求f(x)值域. |
已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,且f(1)=-a,又 a>2c>3b,则的取值范围是______. |
已知f(x)=ax2+bx+c. (Ⅰ)当a=-1,b=2,c=4时,求f(x)≤1的解集; (Ⅱ)当f(1)=f(3)=0,且当x∈(1,3)时,f(x)≤1恒成立,求实数a的最小值. |
已知函数f(x)=4x2-3kx-8在[3,10]上是增函数,则k的取值范围是______. |
如果函数f(x)=-x2+bx+c,且对称轴为直线x=2,则( )A.f(2)<f(1)<f(4) | B.f(1)<f(4)<f(2) | C.f(2)<f(4)<f(1) | D.f(4)<f(1)<f(2) |
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