已知f(x)=ax2+bx+c.(Ⅰ)当a=-1,b=2,c=4时,求f(x)≤1的解集;(Ⅱ)当f(1)=f(3)=0,且当x∈(1,3)时,f(x)≤1恒成
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知f(x)=ax2+bx+c. (Ⅰ)当a=-1,b=2,c=4时,求f(x)≤1的解集; (Ⅱ)当f(1)=f(3)=0,且当x∈(1,3)时,f(x)≤1恒成立,求实数a的最小值. |
答案
(Ⅰ)当a=-1,b=2,c=4时,f(x)=-x2+2x+4, 则f(x)≤1即x2-2x-3≥0, ∴(x-3)(x+1)≥0,解得x≤-1,或x≥3. 所以不等式f(x)≤1的解集为{x|x≤-1,或x≥3}; (Ⅱ)因为f(1)=f(3)=0, 所以f(x)=a(x-1)(x-3),f(x)=a(x-1)(x-3)≤1在x∈(1,3)恒成立,即-a≤在x∈(1,3)恒成立, 而0<(x-1)(3-x)≤[]2=1,当且仅当x-1=3-x,即x=2时取到等号. ∴≥1, 所以-a≤1,即a≥-1. 所以a的最小值是-1; (Ⅱ)或f(x)=a(x-1)(x-3)≤1在x∈(1,3)恒成立, 即a(x-1)(x-3)-1≤0在x∈(1,3)恒成立. 令g(x)=a(x-1)(x-3)-1=ax2-4ax+3a-1=a(x-2)2-a-1. ①当a=0时,g(x)=-1<0在x∈(1,3)上恒成立,符合; ②当a>0时,易知在x∈(1,3)上恒成立,符合; ③当a<0时,则-a-1≤0,所以-1≤a<0. 综上所述,a≥-1 所以a的最小值是-1. |
举一反三
已知函数f(x)=4x2-3kx-8在[3,10]上是增函数,则k的取值范围是______. |
如果函数f(x)=-x2+bx+c,且对称轴为直线x=2,则( )A.f(2)<f(1)<f(4) | B.f(1)<f(4)<f(2) | C.f(2)<f(4)<f(1) | D.f(4)<f(1)<f(2) |
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已知函数f(x)=4x-a2x+b,当x=1时,f(x)有最小值-1; (1)求a,b的值; (2)求满足f(x)≤0的x的集合A. |
已知≤a≤1,若f(x)=ax2-2x+1在区间[1,3]上的最大值M(a),最小值N(a),设g(a)=M(a)-N(a). (1)求g(a)的解析式; (2)判断g(a)单调性,求g(a)的最小值. |
已知函数f(x)=ax2+bx-1满足以下两个条件: ①函数f(x)的值域为[-2,+∞); ②任意x∈R,恒有f(-1+x)=f(-1-x)成立. (1)求f(x)的解析式; (2)设F(x)=f(-x)-kf(x),若F(x)在[-2,2]上是减函数,求实数k的取值范围. |
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