已知函数f(x)=x2+x-6,g(x)=2x+1,α、β是方程f(x)=0的两个根(α>β).(1)求α、β的值;(2)数列{an}满足:a1=1,an+1=
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已知函数f(x)=x2+x-6,g(x)=2x+1,α、β是方程f(x)=0的两个根(α>β).(1)求α、β的值;(2)数列{an}满足:a1=1,an+1=
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数f(x)=x
2
+x-6,g(x)=2x+1,α、β是方程f(x)=0的两个根(α>β).
(1)求α、β的值;
(2)数列{a
n
}满足:a
1
=1,a
n+1
=g(a
n
),求a
n
;
(3)数列{a
n
}满足:
a
1
=3,
a
n+1
=
a
n
-
f(
a
n
)
g(
a
n
)
,(n=1,2,3,…)
记
b
n
=ln
a
n
-β
a
n
-α
,(n=1,2,…),求证数列{b
n
}为等比数列,并求{b
n
}的前n项和S
n
.
答案
(1)由x
2
+x-6=0,可得x=2或-3,
∵α、β是方程f(x)=0的两个根(α>β),∴α=2,β=-3;
(2)∵g(x)=2x+1,∴a
n+1
=g(a
n
)=2a
n
+1
∴a
n+1
+1=2(a
n
+1)
∵a
1
=1,
∴{a
n
+1}是以2为首项,2为公比的等比数列
∴a
n
+1=2
n
,即a
n
=2
n
-1;
(3)证明:
a
n+1
=
a
n
-
f(
a
n
)
g(
a
n
)
=
a
n
2
+6
2
a
n
+1
∴a
n+1
+3=
a
n
2
+6
2
a
n
+1
+3=
(
a
n
+3
)
2
2
a
n
+1
,a
n+1
-2=
(
a
n
-2)
2
2
a
n
+1
∴
b
n
=ln
a
n
-β
a
n
-α
=ln
a
n
+3
a
n
-2
=2ln
a
n-1
+3
a
n-1
-2
=2b
n-1
∴{b
n
)是首项为ln
a
1
+3
a
1
-2
=ln6,公比为2的等比数列
∴{b
n
}的前n项和S
n
=
(1-
2
n
)ln6
1-2
=(2
n
-1)ln6.
举一反三
已知函数f(x)=2x
2
-2ax+3在区间[-1,1]有最小值,记为g(a).
(1)求g(a)的表达式;
(2)求g(a)的最大值.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知二次函数f(x)=ax
2
+bx(a、b为常数且a≠0)满足条件:f(-x+5)=f(x-3),且方程f(x)=x有等根.
(1)求f(x)的解析式;
(2)函数f(x)在(x∈[t,t+1],t∈R)的最大值为u(t),求u(t)解析式.
题型:解答题
难度:一般
|
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若函数f(x)=x
2
-2bx+3a在区间(0,1)内有极小值,则实数b的取值范围是( )
A.b<1
B.b>1
C.0<b<1
D.
b<
1
2
题型:单选题
难度:一般
|
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已知函数f(x)=x
2
+(a-1)x+b,f(1)=1.
(1)若函数f(x)没有零点,求a的取值范围;
(2)若函数f(x)的图象的对称轴是x=1,解不等式f(x)>1.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知函数f(x)=x
2
,g(x)=x-1.
(1)若∃x∈R使f(x)<b•g(x),求实数b的取值范围;
(2)设F(x)=f(x)-mg(x)+1-m-m
2
,且|F(x)|在[0,1]上单调递增,求实数m的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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