已知函数f(x)=ax2+bx+c,其中a∈N*,b∈N,c∈Z.(1)若b>2a,且f(sinα)(α∈R)的最大值为2,最小值为-4,求f(x)的最小值;(
题型:解答题难度:一般来源:丰台区一模
已知函数f(x)=ax2+bx+c,其中a∈N*,b∈N,c∈Z. (1)若b>2a,且f(sinα)(α∈R)的最大值为2,最小值为-4,求f(x)的最小值; (2)若对任意实数x,不等式4x≤f(x)≤2(x2+1),且存在x0使得f(x0)<2(x02+1)成立,求c的值. |
答案
(1)据题意x∈[-1,1]时,f(x)max=2,f(x)min=-4,(1分) f(x)=a(x+)2+c-, ∵b>2a>0,∴-<-1, ∴f(x)在[-1,1]上递增, ∴f(x)min=f(-1),f(x)max=f(1),(3分) ∴,∴b=3,a+c=-1,(5分) ∵b>2a,∴a<,又a∈N*,∴a=1,∴c=-2,(7分) ∴f(x)=x2+3x-2=(x+)2-, ∴f(x)min=-.(8分) (2)由已知得,4≤f(1)≤4,∴f(1)=4,即a+b+c=4①,(9分) ∵f(x)≥4x恒成立,∴ax2+(b-4)x+c≥0恒成立, ∴△=(b-4)2-4ac≤0②,(11分) 由①得b-4=-(a+c),代入②得(a-c)2≤0,∴a=c,(13分) 由f(x)≤2(x2+1)得:(2-a)x2-bx+2-c≥0恒成立, 若a=2,则b=0,c=2,∴f(x)=2(x2+1), 不存在x0使f(x0)<2(x02+1),与题意矛盾,(15分) ∴2-a>0,∴a<2,又a∈N*, ∴a=1,c=1.(16分) |
举一反三
已知二次函数f(x)=x2+ax+m+1,关于x的不等式f(x)<(2m-1)x+1-m2的解集为(m,m+1),其中m为非零常数.设g(x)=. (1)求a的值; (2)k(k∈R)如何取值时,函数φ(x)=g(x)-kln(x-1)存在极值点,并求出极值点. |
已知抛物线f(x)=ax2+bx+的最低点为(-1,0), (1)求不等式f(x)>4的解集; (2)若对任意x∈[1,9],不等式f(x-t)≤x恒成立,求实数t的取值范围. |
已知二次函数f(x)=ax2-(a+2)x+1(a∈Z),且函数f(x)在区间(-2,-1)内的图象与x轴恰有一个交点,则不等式f(x)>1的解集为( )A.(-∞,-1)∪(0,+∞) | B.(-∞,0)∪(1,+∞) | C.(-1,0) | D.(0,1) |
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已知函数f(x)=sin2x+acosx+a-,a∈R. (1)当a=1时,求函数f(x)的最大值; (2)若x∈[0,]Z,当a∈R时,求函数f(x)的最大值. |
已知二次函数f(x)满足f(-1)=0,且x≤f(x)≤(x2+1)对一切实数x恒成立. (1)求f(1); (2)求f(x)的解析表达式; (3)证明:++…+>2. |
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