已知函数f(x)=ax2+4x-2满足对任意x1,x2∈R且x1≠x2,都有f(x1+x22)<f(x1)+f(x2)2.(1)求实数a的取值范围;(2)试讨论

已知函数f(x)=ax2+4x-2满足对任意x1,x2∈R且x1≠x2,都有f(x1+x22)<f(x1)+f(x2)2.(1)求实数a的取值范围;(2)试讨论

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=ax2+4x-2满足对任意x1,x2∈R且x1≠x2,都有f(
x1+x2
2
)<
f(x1)+f(x2)
2

(1)求实数a的取值范围;
(2)试讨论函数y=f(x)在区间[-1,1]上的零点的个数;
(3)对于给定的实数a,有一个最小的负数M(a),使得x∈[M(a),0]时,-4≤f(x)≤4都成立,则当a为何值时,M(a)最小,并求出M(a)的最小值.
答案
(1)∵f(
x1+x2
2
)-
f(x1)+f(x2)
2
=a(
x1+x2
2
)2+b(
x1+x2
2
)+c-
ax12+bx1+c+ax22+bx2+c
2
=-
a
4
(x1-x2)2<0
,4分
又∵x1≠x2,∴必有a>0,∴实数a的取值范围是(0,+∞). 2分
(2)△=16+8a,由(1)知:a>0,所以△>0. 由 a>0,f(1)=a+2>0
①当0<a<6时,总有f(-1)<0,f(0)=-2<0,f(1)>0,
故0<a<6时,f(x)在[-1,1]上有一个零点; 2分
②当a>6时,





a>0
-1<-
4
2a
<1
f(1)=a+4-2>0
f(-1)=a-4-2>0
,即a>6时,f(x)在[-1,1]上有两个零点;2分
③当a=6时,有f(-1)=0,f(0)=-2<0,f(1)>0,故a=6时,f(x)在[-1,1]上有两个零点.
综上:0<a<6时,f(x)在[-1,1]上有一个零点;a≥6时,f(x)在[-1,1]上有两个零点. 2分
(3)∵f(x)=ax2+4x-2=a(x+
2
a
)2-2-
4
a

显然f(0)=-2,对称轴x=-
2
a
<0

①当-2-
4
a
<-4
,即0<a<2时,M(a)∈(-
2
a
,0)
,且f[M(a)]=-4.
令ax2+4x-2=-4,解得x=
-2±


4-2a
a

此时M(a)取较大的根,即M(a)=
-2+


4-2a
a
=
-2


4-2a
+2

∵0<a<2,∴M(a)=
-2


4-2a
+2
>-1
. 2分
②当-2-
4
a
≥-4
,即a≥2时,M(a)<-
2
a
,且f[M(a)]=4.
令ax2+4x-2=4,解得x=
-2±


4+6a
a

此时M(a)取较小的根,即M(a)=
-2-


4+6a
a
=
-6


4+6a
+2

∵a≥2,∴M(a)=
-6


4+6a
-2
≥-3
. 当且仅当a=2时,取等号. 3分
∵-3<-1,∴当a=2时,M(a)取得最小值-3. 1分.
举一反三
以100元/件的价格购进一批羊毛衫,以高于进价的相同价格出售.羊毛衫的销售有淡季与旺季之分.标价越高,购买人数越少.我们称刚好无人购买时的最低标价为羊毛衫的最高价格.某商场经销某品牌的羊毛衫,无论销售淡季还是旺季,进货价都是100/件.针对该品牌羊毛衫的市场调查显示:
①购买该品牌羊毛衫的人数是标价的一次函数;
②该品牌羊毛衫销售旺季的最高价格是淡季最高价格的
3
2
倍;
③在销售旺季,商场以140元/件价格销售时能获取最大利润.
(I)分别求该品牌羊毛衫销售旺季的最高价格与淡季最高价格;
(II)问:在淡季销售时,商场要获取最大利润,羊毛衫的标价应定为多少.
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已知函数f(x)=x2+bx+c,(b,c∈R),F(x)=
f′(x)
ex
,若F(x)图象在x=0处的切线方程为y=-2x+c,则函数f(x)的最小值是______.
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若动点P(x,y)在曲线
x2
4
+
y2
b2
=1(b>0)
上变化,则x2+2y的最大值为多少.
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从集合{1,2,3,4,5}中任取两个不同元素a,b作为f(x)=ax2+bx的系数(a<b),则这个函数在区间(-3,0)内恒为负值的概率为______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知函数y=3x3+2x2-1在区间(m,0)上为减函数,则m的取值范围是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
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