(Ⅰ)∵f(1)=0,∴b=a+1,(1分) 由于f(x)≥0恒成立,即ax2-bx+1≥0恒成立, 当a=0时,b=1,此时,f(x)=-x+1与f(x)≥0恒成立矛盾. 当a≠0时,由△=(-b)2-4a=(a+1)2-4a=(a-1)2≤0,得a=1,b=2…(3分) 从而f(x)=x2-2x+1, ∴F(x)= | (x-1)2,(x>0) | -(x-1)2,(x<0) |
| | (4分) (Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=x2-2x+1 ∴g(x)=f(x)-kx=x2-(2+k)x+1,其对称为x= 由g(x)在x∈[-3,3]上是单调函数知:≥3或≤-3, 解得k≥4或k≤-8(8分) 证明:(Ⅲ)∵f(x)是偶函数, ∴由f(-x)=f(x)得b=0, 故f(x)=ax2+1,F(x)= ∵a>0,∴f(x)在[0,+∞)上是增函数,(9分) 对于F(x),当x>0时,-x<0,F(-x)=-f(-x)=-f(x)=-F(x) 当x<0时,-x>0,F(-x)=f(-x)=f(x)=-F(x) ∴F(x)是奇函数,且F(x)在[0,+∞)上为增函数.(11分) ∵mn<0, ∴m,n异号, (1)当m>0,n<0时,由m+n>0得m>-n>0, ∴F(m)>F(-n)=-F(n) (2)当m<0,n>0时,由m+n>0得n>-m>0, ∴F(n)>F(-m)=-F(m) 即F(m)>-F(n) 综上可知F(m)>-F(n)(14分) |