函数f(x)=ax2+bx(a,b是常数且a≠0)满足条件:f(2)=0,方程f(x)=x 有等根(1)求f(x)的解析式;(2)问:是否存在实数m,n使得f(

函数f(x)=ax2+bx(a,b是常数且a≠0)满足条件:f(2)=0,方程f(x)=x 有等根(1)求f(x)的解析式;(2)问:是否存在实数m,n使得f(

题型:解答题难度:一般来源:不详
函数f(x)=ax2+bx(a,b是常数且a≠0)满足条件:f(2)=0,方程f(x)=x 有等根
(1)求f(x)的解析式;
(2)问:是否存在实数m,n使得f(x)定义域和值域分别为[m,n]和[2m,2n],如存在,求出m,n的值;如不存在,说明理由.
答案
(1)f(2)=0得:4a+2b=0. 方程f(x)=x,即ax2+(b-1)x=0.
由此方程有等根,可得△=(b-1)2=0,可得b=1.------(2分)
解方程组





4a+2b=0
(b-1)2=0
,可得





a=-
1
2
b=1
,-----(4分)
∴f(x)=-
1
2
x2
+x.------(5分)
(2)由于f(x)=-
1
2
x2
+x=-
1
2
(x-1)2+
1
2
1
2
,------(2分)
∴2n
1
2
,∴n
1
4
,∴函数f(x)在[m,n]上是增函数.------(5分)





f(m)=-
1
2
m2+m=2m
f(n)=-
1
2
n2 +n=2n
,解得m=-2,n=0.
故存在实数m=-2,n=0,满足条件.-----(7分)
举一反三
函数f(x)=x2-2ax+3在区间[2,3]上是单调函数,则a的取值范围是(  )
A.a≤2或a≥3B.2≤a≤3C.a≤2D.a≥3
题型:单选题难度:简单| 查看答案
设函数f(x)=ax2-bx+1(a,b∈R),F(x)=





f(x),(x>0)
-f(x),(x<0)

(Ⅰ)若f(1)=0且对任意实数均有f(x)≥0恒成立,求F(x)表达式;
(Ⅱ)在(1)在条件下,当x∈[-3,3]时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求实数k的取值范围;
(Ⅲ)设mn<0,m+n>0,a>0且f(x)为偶函数,证明F(m)>-F(n).
题型:解答题难度:一般| 查看答案
设函数f(x)=
1
2
x2-(a2-2a-1)x+3(x∈R)

(1)当a=2,-2≤x≤2时,求f(x)的值域;
(2)若f(x)在x∈(-1,2)上是单调函数,求实数a的范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x+1,且f(0)=1
(1)求f(x)的表达式;
(2)当-1≤x≤1时,f(x)≤3x+m恒成立,求实数m的最小值.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=4x2-kx-8在[5,20]上具有单调性,则实数k的取值范围为______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
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