函数f（x）=ax2+bx（a，b是常数且a≠0）满足条件：f（2）=0，方程f（x）=x 有等根（1）求f（x）的解析式；（2）问：是否存在实数m，n使得f（
题型：解答题难度：一般来源：不详
函数f（x）=ax2+bx（a，b是常数且a≠0）满足条件：f（2）=0，方程f（x）=x 有等根
（1）求f（x）的解析式；
（2）问：是否存在实数m，n使得f（x）定义域和值域分别为[m，n]和[2m，2n]，如存在，求出m，n的值；如不存在，说明理由． |
答案
（1）f（2）=0得：4a+2b=0． 方程f（x）=x，即ax2+（b-1）x=0．
由此方程有等根，可得△=（b-1）2=0，可得b=1．------（2分）
解方程组，可得，-----（4分）
∴f（x）=-x2+x．------（5分）
（2）由于f（x）=-x2+x=-(x-1)2+≤，------（2分）
∴2n≤，∴n≤，∴函数f（x）在[m，n]上是增函数．------（5分）
∴ | | f(m)=-m2+m=2m | | f(n)=-n2 +n=2n |
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，解得m=-2，n=0．
故存在实数m=-2，n=0，满足条件．-----（7分） |
举一反三
函数f（x）=x2-2ax+3在区间[2，3]上是单调函数，则a的取值范围是（ ）| A．a≤2或a≥3 | B．2≤a≤3 | C．a≤2 | D．a≥3 |
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设函数f（x）=ax2-bx+1（a，b∈R），F(x)=
（Ⅰ）若f（1）=0且对任意实数均有f（x）≥0恒成立，求F（x）表达式；
（Ⅱ）在（1）在条件下，当x∈[-3，3]时，g（x）=f（x）-kx是单调函数，求实数k的取值范围；
（Ⅲ）设mn＜0，m+n＞0，a＞0且f（x）为偶函数，证明F（m）＞-F（n）． |
设函数f(x)=x2-(a2-2a-1)x+3(x∈R)，
（1）当a=2，-2≤x≤2时，求f（x）的值域；
（2）若f（x）在x∈（-1，2）上是单调函数，求实数a的范围． |
二次函数f（x）满足f（x+1）-f（x）=2x+1，且f（0）=1
（1）求f（x）的表达式；
（2）当-1≤x≤1时，f（x）≤3x+m恒成立，求实数m的最小值． |
| 已知函数f（x）=4x2-kx-8在[5，20]上具有单调性，则实数k的取值范围为______． |
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