已知函数f(x)=ax2+bx+c(a>0且bc≠0).(1)若|f(0)|=|f(1)|=|f(-1)|=1,试求f(x)的解析式;(2)令g(x)=2ax+
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=ax2+bx+c(a>0且bc≠0). (1)若|f(0)|=|f(1)|=|f(-1)|=1,试求f(x)的解析式; (2)令g(x)=2ax+b,若g(1)=0,又f(x)的图象在x轴上截得的弦的长度为l,且0<|x1-x2|≤2,试确定c-b的符号. |
答案
(1)由已知|f(1)|=|f(-1)|,有|a+b+c|=|a-b+c|,(a+b+c)2=(a-b+c)2,可得4b(a+c)=0. ∵bc≠0,∴b≠0.∴a+c=0. 又由a>0有c<0. ∵|c|=1,于是c=-1,则a=1,|b|=1. ∴f(x)=x2±x-1. (2)g(x)=2ax+b,由g(1)=0有2a+b=0,b<0. 设方程f(x)=0的两根为x1、x2. ∴x1+x2=-=2,x1x2=. 则|x1-x2|==. 由已知0<|x1-x2|≤2, ∴0≤<1. 又∵a>0,bc≠0, ∴c>0. ∴c-b>0. |
举一反三
若方程4x+(4+a)•2x+4=0有解,则实数a的取值范围是______. |
当x∈[0,2]时,函数f(x)=ax2+4(a-1)x-3在x=2时取最大值,则a的取值范围是( )A.[-,+∞) | B.[0,+∞) | C.[1,+∞) | D.[,+∞) |
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如果|x|≤,那么函数f(x)=cos2x+sinx的最小值是______. |
函数y=-x2+4ax在区间[2,4]上为单调函数,则实数a的取值范围是______. |
设a∈R,函数f(x)=x2+ax+4.(1)解不等式f(x)+f(-x)<10x;(2)求f(x)在区间[1,2]上的最小值g(a). |
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