已知函数f(x)=ax2-4x-1.(Ⅰ)若a=2时,求当x∈[0,3]时,函数f(x)的值域;(Ⅱ)若a=2,当x∈(0,1)时,f(1-m)-f(2m-1)
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=ax2-4x-1. (Ⅰ)若a=2时,求当x∈[0,3]时,函数f(x)的值域; (Ⅱ)若a=2,当x∈(0,1)时,f(1-m)-f(2m-1)<0恒成立,求m的取值范围; (Ⅲ)若a为非负数,且函数f(x)是区间[0,3]上的单调函数,求a的取值范围. |
答案
(Ⅰ)当a=2时,函数f(x)=2x2-4x-1=2(x-1)2-3. 所以f(x)在[0,1]上单调递减;在(1,3]上单调递增.…(2分) 所以f(x)的最小值是f(1)=-3.…(3分) 又因为f(0)=-1,f(3)=5,所以f(x)的值域是[-3,5]. …(4分) (Ⅱ)因为a=2,所以由(Ⅰ)可知:f(x)在[0,1]上单调递减. 因为当x∈(0,1)时,f(1-m)-f(2m-1)<0恒成立,可得 ,…(7分) 解得 <m<. 所以m的取值范围是(,). …(8分) (Ⅲ)因为f(x)=ax2-4x-1, ①当a=0时,f(x)=-4x-1,所以f(x)在[0 3]上单调递减.…(10分) ②当a>0时,f(x)=a(x-)2--1, 因为f(x)在[0 3]上的单调函数,可得 ,解得 0<a≤. …(13分) 由①、②可知,a的取值范围是[0 ]. …(14分) |
举一反三
若函数f(x)满足下列条件:在定义域内存在x0,使得f(x0+1)=f(x0)+f(1)成立,则称函数f(x)具有性质M;反之,若x0不存在,则称函数f(x)不具有性质M. (Ⅰ)证明:函数f(x)=2x具有性质M,并求出对应的x0的值; (Ⅱ)已知函数h(x)=lg具有性质M,求a的取值范围; (Ⅲ)试探究形如①y=kx+b(k≠0)、②y=ax2+bx+c(a≠0)、③y=(k≠0)、④y=ax(a>0且a≠1)、⑤y=logax(a>0且a≠1)的函数,指出哪些函数一定具有性质M?并加以证明. |
已知函数f(x)=4x2-4mx+m+2的图象与x轴的两个交点横坐标分别为x1,x2,当x12+x22取到最小值时,m的值为______. |
函数y=lg(-x2+4x)的单调递增区间是( )A.(-∞,2] | B.(0,2] | C.[2,+∞) | D.[2,4) |
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已知函数f(x)=4x2-kx-8在(5,+∞)上为单调递增函数,则实数k的取值范围是______. |
设函数f(x)=(x-2008)(x-2009)+,有( )A.在定义域内无零点 | B.存在两个零点,且分别在(-∞,2008)、(2009,+∞)内 | C.存在两个零点,且分别在(-∞,-2007)、(2007,+∞)内 | D.存在两个零点,都在(2008,2009)内 |
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