已知二次函数f（x）=x2-ax+a（x∈R）同时满足：①不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在0＜x1＜x2，使得不等式f（ x1）＞f（

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知二次函数f（x）=x²-ax+a（x∈R）同时满足：①不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（ x₁）＞f（ x₂）成立．设数列{a_n}的前n项和 S_n=f（n）．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）求数列{ a_n}的通项公式．

答案

（1）∵不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素，
∴△=a²-4a=0，解得a=0或a=4．
当a=0时，函数f（x）=x²在（0，+∞）上递增，不满足条件②；
当a=4时，函数f（x）=x²-4x+4在（0，2）上递减，满足条件②．
综上得a=4，即f（x）=x²-4x+4．
（2）由（1）知S_n=n²-4n+4=（n-2）²，
当n=1时，a₁=S₁=1；
当n≥2时a_n=S_n-S_n-1=（n-2）²-（n-3）²=2n-5．
∴an=

1，n=1 2n-5，n≥2

．