已知二次函数f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R,a>0),设方程f(x)=x的两个实数根为x1和x2.(1)如果x1<2<x2<4,设二次函数f(x)的对称
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知二次函数f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R,a>0),设方程f(x)=x的两个实数根为x1和x2. (1)如果x1<2<x2<4,设二次函数f(x)的对称轴为x=x0,求证:x0>-1; (2)如果|x1|<2,|x2-x1|=2,求b的取值范围. |
答案
(1)设g(x)=f(x)-x=ax2+(b-1)x+1, ∵a>0, ∴由条件x1<2<x2<4, 得g(2)<0,g(4)>0.即 由可行域可得<2,∴x0=->-1. (2)由g(x)=ax2+(b-1)x+1=0,知x1x2=>0,故x1与x2同号. ①若0<x1<2,则x2-x1=2(负根舍去), ∴x2=x1+2>2. ∴,即⇒b<; ②若-2<x1<0,则x2=-2+x1<-2(正根舍去), ,即⇒b>. 综上,b的取值范围为b<或b>. |
举一反三
设f(x)=,g(x)是二次函数,若f(g(x))的值域是[0,+∞),则g(x)的值域是( )A.(-∞,-1]∪[1,+∞) | B.(-∞,-1]∪[0,+∞) | C.[0,+∞) | D.[1,+∞) |
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函数f(x)=mx2-2x+1的零点只有一个是正实数,则实数m的取值范围是______. |
设f(x)=x2+bx+1,且f(-1)=f(3),则f(x)>0的解集是( )A.(-∞,-1)∪(3,+∞) | B.R | C.{x∈R|x≠1} | D.{x∈R|x=1} |
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二次函数y=f(x)满足:①f(0)=1;②f(x+1)-f(x)=2x. (1)求f(x)的解析式; (2)求f(x)在区间[-1,1]上的最大值和最小值; |
某幢建筑物,从10m高的窗口A用水管向外喷水,喷出的水流呈抛物线状(抛物线所在平面与墙面垂直).如图所示,如果抛物线的最高点M离墙1m,离地面m,则水流落地点B离墙的距离OB是( ) |
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