(1)∵x≤f(x)≤(1+x2)在R上恒成立, ∴1≤f(1)≤(1+12)=1,即f(1)=1 ∵f(x-4)=f(2-x),∴函数图象关于直线x=-1对称, ∴-=-1,b=2a. ∵f(1)=1,∴a+b+c=1 又∵f(x)在R上的最小值为0, ∴f(-1)=0,即a-b+c=0, 由,解得, ∴f(x)=x2+x+; (2)由(1)得,g(x)=f(x)-k2x=[x2-2(2k2-1)x+1], ∴g(x)对称轴方程为x=2k2-1, ∵g(x)在[-1,1]上是单调函数, ∴2k2-1≤-1或2k2-1≥1, 解得k≥1或k≤-1或k=0, ∴k的取值范围是k≥1或k≤-1或k=0. (3)假设存在存在t∈R满足条件, 由(1)知f(x)=x2+x+=(x+1)2, ∴f(x+t)≤x⇔(x+t+1)2≤4x且x∈[1,m], ⇔在[1,m]上恒成立⇔ | t≥(-x-2-1)max | t≤(-x+2-1)min |
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∵y =-x-2-1在[1,m]上递减, ∴(-x-2-1)max=-4, ∵y =-x+2-1在[1,m]上递减, ∴(-x+2-1)min=-m+2-1=-(-1)2 ∴-4≤t≤-(-1)2,∴-(-1)2≥-4,(-1)2≤4, ∵m>1,∴-1≤2, ∴m≤9,∴m的最大值为9. |