设函数f(x)=mx2-mx-6+m.(1)若对于x∈[1,3],f(x)<0恒成立,求实数m的取值范围;(2)若对于m∈[-2,2],f(x)<0恒成立,求实
题型:解答题难度:一般来源:不详
设函数f(x)=mx2-mx-6+m. (1)若对于x∈[1,3],f(x)<0恒成立,求实数m的取值范围; (2)若对于m∈[-2,2],f(x)<0恒成立,求实数x的取值范围. |
答案
(1)f(x)<0即mx2-mx-6+m<0,可得m(x2-x+1)<6 ∵当x∈[1,3]时,x2-x+1∈[1,7] ∴不等式f(x)<0等价于m< ∵当x=3时,的最小值为 ∴若要不等式m<恒成立,则m<, 即实数m的取值范围为(-,+∞) (2)由题意,f(x)=g(m)=m(x2-x+1)-6 g(m)是关于m的一次函数 因此若对于m∈[-2,2],f(x)<0恒成立, 则 | g(-2)=-2(x 2-x+1)-6<0 | g(2)=2(x 2-x+1)-6<0 |
| | ,解之得-1<x<2, 即实数x的取值范围为(-1,2). |
举一反三
设二次函数f(x)的图象关于直线x=1对称,并且当x>1时f(x)是增函数,又设a=f(1-π),b=f(π-1),c=f(),则实数a、b、c的关系是( )A.a=b>c | B.a>c>b | C.c>b>a | D.c>a=b |
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已知二次函数f(x)=ax2+bx+c满足f(1)=0. (I)若a>b>c,证明f(x)的图象与x轴有两个交点,且这两个交点间的距离d满足:<d<3; (Ⅱ)设f(x)在x=(t>0,t≠1)处取得最小值,且对任意实数x,等式f(x)g(x)+anx+bn=xn+1(其中n∈N,g(x)=x2+x+1)都成立,若数列{cn}的前n项和为bn,求{cn}的通项公式. |
已知函数f(x)=ax2-2ax+2+b(a≠0)在[2.3]上有最大值5和最小值2,求a和b的值. |
设f(x)=ax2+(b-1)x-a-ab,不等式f(x)>0的解集是(-2,0). (1)求a,b的值; (2)求函数g(x)=在[2,4]上的最大值和最小值. |
设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)满足条件:①当x∈R时,f(x-4)=f(2-x),且x≤f(x)≤(1+x2);②f(x)在R上的最小值为0. (1)求f(1)的值及f(x)的解析式; (2)若g(x)=f(x)-k2x在[-1,1]上是单调函数,求k的取值范围; (3)求最大值m(m>1),使得存在t∈R,只要x∈[1,m],就有f(x+t)≤x. |
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