已知函数f(x)=(ax-1)(x+1).(Ⅰ)当a=1时,求f(x)在区间[-1,2]上的值域;(Ⅱ)若函数f(x)在区间[-1,+∞)上是减函数,求a的取值
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=(ax-1)(x+1). (Ⅰ)当a=1时,求f(x)在区间[-1,2]上的值域; (Ⅱ)若函数f(x)在区间[-1,+∞)上是减函数,求a的取值范围; (Ⅲ)解关于x的不等式f(x)<0. |
答案
(Ⅰ)当a=l时,f(x)=(x-1)(x+1)=x2-1, 函数f(x)在区间(-∞,0]上单调递减,在区间[0,+∞)上单调递增, 所以,f(x)在区间[-1,2]上的最小值为f(0)=-1…(2分) f(x)在区间[-1,2]上的最大值为f(2)=3…(3分) 故f(x)在区间[-1,2]上的值域为[-1,3]…(4分) (Ⅱ)当a=0时,f(x)=-x-1,在区间[-1,+∞)上是减函数,符合题意…(5分) 当a≠0时,若函数f(x)在区间[-1,+∞)上是减函数, 则a<0,且≤-1,…(7分) 所以-1≤a<0,…(9分) 所以a的取值范围是[-1,0] (Ⅲ)由已知,解不等式(ax-1)(x+1)<0. 当a=0时,可解得x>-1,解集为{x|x>-1} …(10分) 当a>0时,不等式可化为(x-)(x+1)<0,解得-1<x<,解集为{|-1<x< } …(11分) 当a<0时,不等式可化为(x-)(x+1)>0, 若=-1,即a=-1时,x≠-1,解集为{x|}x≠-1; …(12分) 若>-1,即a<-1时,x<-1或x>,解集为{x|x<-1或x> } …(13分) 若<-1,即-1<a<0时,x<或x>-1,解集为{x|x<或x>-1 } …(14分) |
举一反三
如果函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在(-∞,4]上是减函数,那么实数a取值范围是( ) |
已知函数f(x)=x2-2x+2,那么f(1),f(-1),f()之间的大小关系为______. |
已知函数f(x)=,若f(2a+1)>f(a),则实数a的取值范围是( )A.(-∞,-1)∪(-,+∞) | B.(-∞,-3)∪(-1,+∞) | C.(-1,-) | D.(-3,-1) |
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已知:函数f(x)=x2-bx+c,若f(1-x)=f(1+x),且f(0)=3, (1)求:b、c的值; (2)试比较f(bm)与f(cm)(m∈R)的大小. |
当x∈[1,9]时,不等式|x2-3x|+x2+32≥kx恒成立,则k的取值范围是______. |
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