已知二次函数f（x）满足f（x+1）+f（x﹣1）=2x2﹣4x；（1）求f（x）的解析式（2）求当x∈[0，a]（a为大于0的常数）时f（x）的最小值

题型：解答题难度：一般来源：江苏月考题

已知二次函数f（x）满足f（x+1）+f（x﹣1）=2x²﹣4x；
（1）求f（x）的解析式
（2）求当x∈[0，a]（a为大于0的常数）时f（x）的最小值．

答案

解：（1）设f（x）=ax²+bx+c（a≠0），则有
f（x+1）+f（x﹣1）=2ax²+2bx+2a+2c=2x²﹣4x 对任意实数x恒成立
∴

解之得a=1，b=﹣2，c=﹣1
∴f（x）=x²﹣2x﹣1
（2）当0＜a＜1时，f（x）的最小值为f（a）=a²﹣2a﹣1
当a≥1时，f（x）的最小值为f（1）=﹣2

举一反三

在函数f（x）=ax²+bx+c中，若a，b，c成等比数列，且f（0）=﹣4，则f（x）有最大值（）．

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已知二次函数g（x）对任意实数x都满足g（x﹣1）+g（1﹣x）=x²﹣2x﹣1，且g（1）=﹣1．令

．
（1）求g（x）的表达式；
（2）若

x＞0使f（x）≤0成立，求实数m的取值范围；
（3）设1＜m≤e，H（x）=f（x）﹣（m+1）x，
证明：对

x₁，x₂∈[1，m]，恒有|H（x₁）﹣H（x₂）|＜1．

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已知函数f（x）=ax²+bx+1（a，b为实数，a≠0，x∈R）．
（Ⅰ）当函数f（x）的图象过点（﹣1，0），且方程f（x）=0有且只有一个根，求f（x）的表达式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，当x∈[﹣2，2]时，g（x）=f（x）﹣kx是单调函数，求实数k的取值范围；
（Ⅲ）若

当mn＜0，m+n＞0，a＞0，且函数f（x）为偶函数时，试判断F（m）+F（n）能否大于0？

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设abc＞0，二次函数f（x）=ax²+bx+c的图象可能是[ ]
A．

B．

C．

D．

题型：单选题难度：一般| 查看答案

若二次函数f（x）=ax²﹣4x+c的值域为[0，+∞]，则a，c满足的条件是（）

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已知二次函数f（x）满足f（x+1）+f（x﹣1）=2x2﹣4x；（1）求f（x）的解析式 （2）求当x∈[0，a]（a为大于0的常数）时f（x）的最小值