已知函数f(x)=2x+1定义在R上, (1)若f(x)可以表示为一个偶函数g(x)与一个奇函数h(x)之和,设h(x)=t,p(t)=g(2x)+2mh(x)
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已知函数f(x)=2x+1定义在R上, (1)若f(x)可以表示为一个偶函数g(x)与一个奇函数h(x)之和,设h(x)=t,p(t)=g(2x)+2mh(x)
题型:解答题
难度:困难
来源:江苏同步题
已知函数f(x)=2
x+1
定义在R上,
(1)若f(x)可以表示为一个偶函数g(x)与一个奇函数h(x)之和,设h(x)=t,p(t)=g(2x)+2mh(x)+m
2
-m-1(m∈R),求出p(t)的解析式;
(2)若p(t)≥m
2
-m-1对于x∈[1,2]恒成立,求m的取值范围;
(3)若方程p(p(t))=0无实根,求m的取值范围。
答案
解:(1)假设f(x)=g(x)+h(x)①,其中g(x)为偶函数,h(x)为奇函数,
则有f(-x)=g(-x)+h(-x),即f(-x)=g(x)-h(x),②
由①②解得g(x)=
,h(x)=
,
∵f(x)定义在R上,
∴g(x),h(x)都定义在R上,
∵g(-x)=
=g(x),h(-x)=
=-h(x),
∴g(x)是偶函数,h(x)是奇函数,
∵f(x)=2
x+1
,
∴g(x)=
,
h(x)=
,
由
=t,则t∈R,
平方得t
2
=
,
∴g(2x)=2
2x
+
=t
2
+2,
∴p(t)=t
2
+2mt+m
2
-m+1。
(2)∵t=h(x)对于x∈[1,2]单调递增,
∴
,
p(t)=t
2
+2mt+m
2
-m+1≥m
2
-m-1对于t∈
恒成立,
∴m≥-
对于t∈
恒成立,
令φ(t)=-
,则φ′(t)=
,
∵t∈
,∴φ′(t)=
<0,
故φ(t)=-
在t∈
上单调递减,
∴φ(t)
max
=
,
∴m≥
为m的取值范围.
(3)由(1)得p(p(t))=[p(t)]
2
+2mp(t)+m
2
-m+1,
若p(p(t))=0无实根,即[p(t)]
2
+2mp(t)+m
2
-m+1=0①无实根,
方程①的判别式△=4m
2
-4(m
2
-m+1)=4(m-1),
1°当方程①的判别式△<0,即m<1时,方程①无实根;
2°当方程①的判别式△≥0,
即m≥1时,方程①有两个实根p(t)=t
2
+2mt+m
2
-m+1=-m±
,
即t
2
+2mt+m
2
+1±
=0②,
只要方程②无实根,故其判别式△=4m
2
-4(m
2
+1±
)<0,
即得-1-
<0③,且-1+
<0④,
∵m≥1,③恒成立,
由④解得m<2,
∴③④同时成立得1≤m<2;
综上,m的取值范围为m<2。
举一反三
设二次函数f(x)=ax
2
-4x+c(x∈R)的值域为[0,+∞),则
的最大值为
[ ]
A.
B.
C.
D.
题型:单选题
难度:一般
|
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定义:已知函数f(x)在[m,n](m<n)上的最小值为t,若t≤m恒成立,则称函数f(x)在[m,n](m<n)上具有“DK”性质,
(1)判断函数f(x)=x
2
-2x+2在[1,2]上是否具有“DK”性质,说明理由;
(2)若f(x)=x
2
-ax+2在[a,a+1]上具有“DK”性质,求a的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知二次函数f(x)=x
2
-(m+2)x+m+2(x∈R)同时满足:①不等式f(x)≤0的解集有且只有一个元素;②在定义域内存在x
1
,x
2
,使得x
1
+x
2
=0,但f(x
1
)≠f(x
2
)。设数列{a
n
}的前n项和S
n
=f(n)。
(1)求f(x)的表达式;
(2)求数列{a
n
}的通项公式。
题型:解答题
难度:一般
|
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(Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)是否存在自然数m,使得方程f(x)+
=0在区间(m,m+1)内有且只有两个不等的实数根?若存在,求出m的取值范围;若不存在,说明理由.
题型:解答题
难度:一般
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,0<x≤10),每月卖出数量将减少y成,而售货金额变成原来的z倍,
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≤a<1的常数,用a来表示当售货金额最大时的x的值;
(Ⅱ)若y=
x,求使售货金额比原来有所增加的x的取值范围。
题型:解答题
难度:一般
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