已知二次函数f(x)=ax2+bx(a、b是常数,且a≠0)满足条件:f(2)=0,且方程f(x)=x有两个相等实根.(1)求f(x)的解析式;(2)是否存在实
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已知二次函数f(x)=ax2+bx(a、b是常数,且a≠0)满足条件:f(2)=0,且方程f(x)=x有两个相等实根.(1)求f(x)的解析式;(2)是否存在实
题型:解答题
难度:一般
来源:江苏同步题
已知二次函数f(x)=ax
2
+bx(a、b是常数,且a≠0)满足条件:f(2)=0,且方程f(x)=x有两个相等实根.
(1)求f(x)的解析式;
(2)是否存在实数m、n(m<n),使f(x)的定义域和值域分别为[m,n]和[2m,2n]?如存在,求出m、n的值;如不存在,说明理由.
答案
解:(1)方程f(x)=x,即ax
2
+bx=x,亦即ax
2
+(b-1)x=0,
由方程有两个相等实根,得Δ=(b-1)
2
-4a×0=0,
∴b=1,①
由f(2)=0,得4a+2b=0,②
由①、②得,a=-
,b=1,
故f(x)=-
x
2
+x。
(2)假设存在实数m、n满足条件,由(1)知,
f(x)=-
x
2
+x=-
(x-1)
2
+
≤
,则2n≤
,即n≤
,
∵f(x)=-
(x-1)
2
+
的对称轴为x=1,
∴当n≤
时,f(x)在[m,n]上为增函数,
于是有
,即
,
∴
,
又m<n≤
,
∴
,
故存在实数m=-2,n=0,使f(x)的定义域为[m,n],值域为[2m,2n].
举一反三
已知函数f(x)=2
x+1
定义在R上,
(1)若f(x)可以表示为一个偶函数g(x)与一个奇函数h(x)之和,设h(x)=t,p(t)=g(2x)+2mh(x)+m
2
-m-1(m∈R),求出p(t)的解析式;
(2)若p(t)≥m
2
-m-1对于x∈[1,2]恒成立,求m的取值范围;
(3)若方程p(p(t))=0无实根,求m的取值范围。
题型:解答题
难度:困难
|
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设二次函数f(x)=ax
2
-4x+c(x∈R)的值域为[0,+∞),则
的最大值为
[ ]
A.
B.
C.
D.
题型:单选题
难度:一般
|
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定义:已知函数f(x)在[m,n](m<n)上的最小值为t,若t≤m恒成立,则称函数f(x)在[m,n](m<n)上具有“DK”性质,
(1)判断函数f(x)=x
2
-2x+2在[1,2]上是否具有“DK”性质,说明理由;
(2)若f(x)=x
2
-ax+2在[a,a+1]上具有“DK”性质,求a的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知二次函数f(x)=x
2
-(m+2)x+m+2(x∈R)同时满足:①不等式f(x)≤0的解集有且只有一个元素;②在定义域内存在x
1
,x
2
,使得x
1
+x
2
=0,但f(x
1
)≠f(x
2
)。设数列{a
n
}的前n项和S
n
=f(n)。
(1)求f(x)的表达式;
(2)求数列{a
n
}的通项公式。
题型:解答题
难度:一般
|
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(Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)是否存在自然数m,使得方程f(x)+
=0在区间(m,m+1)内有且只有两个不等的实数根?若存在,求出m的取值范围;若不存在,说明理由.
题型:解答题
难度:一般
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