已知函数f(x)=x2-2acos kπ·ln x(k∈N*,a∈R,且a>0).(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)若k=2 04,关于x的方程f(x
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=x2-2acos kπ·ln x(k∈N*,a∈R,且a>0). (1)讨论函数f(x)的单调性; (2)若k=2 04,关于x的方程f(x)=2ax有唯一解,求a的值. |
答案
(1)当k是奇数时,f′(x)>0,则f(x)在(0,+∞)上是增函数; 当k是偶数时,f(x)在(0,)上是单调减函数,在(,+∞)上是单调增函数. (2) |
解析
解:(1)由已知得x>0 且f′(x)=2x-(-1)k·. 当k是奇数时,f′(x)>0, 则f(x)在(0,+∞)上是增函数; 当k是偶数时, 则f′(x)=2x-=. 所以当x∈(0,)时,f′(x)<0; 当x∈(,+∞)时,f′(x)>0. 故当k是偶数时,f(x)在(0,)上是单调减函数,在(,+∞)上是单调增函数. (2)若k=2 014, 则f(x)=x2-2aln x(k∈N*). 记g(x)=f(x)-2ax=x2-2aln x-2ax, 则g′(x)=2x--2a=(x2-ax-a). 则方程f(x)=2ax有唯一解,即g(x)=0有唯一解. 令g′(x)=0,得x2-ax-a=0. 因为a>0,x>0, 所以x1=<0(舍去), x2=. 当x∈(0,x2)时,g′(x)<0,g(x)在(0,x2)上是单调减函数;当x∈(x2,+∞)时,g′(x)>0,g(x)在(x2,+∞)上是单调增函数. 当x=x2时,g′(x2)=0,g(x)min=g(x2). 因为g(x)=0有唯一解,所以g(x2)=0.则 ,即 两式相减得2aln x2+ax2-a=0, 因为a>0,所以2ln x2+x2-1=0.(*) 设函数h(x)=2lnx+x-1. 因为当x>0时,h(x)是增函数,所以h(x)=0至多有一个解. 因为h(1)=0,所以方程(*)的解为x2=1. 从而解得a=. |
举一反三
已知函数f(x)=x+sin x. (1)设P,Q是函数f(x)图像上相异的两点,证明:直线PQ的斜率大于0; (2)求实数a的取值范围,使不等式f(x)≥axcos x在上恒成立. |
f(x)的定义域为R,且f(x)=,若方程f(x)=x+a有两个不同实根,则a的取值范围为( )A.(-∞,1) | B.(-∞,1] | C.(0,1) | D.(-∞,+∞) |
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函数f(x)=的图象如图所示,则a+b+c=________.
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已知函数y=f(x)和y=g(x)在[-2,2]的图象如下图所示:
则方程f[g(x)]=0有且仅有________个根,方程 f[f(x)]=0有且仅有________个根. |
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