给出以下四个结论:(1)函数f(x)=x-12x+1的对称中心是(-12,-12);(2)若关于x的方程x-1x+k=0在x∈(0,1)没有实数根,则k的取值范

给出以下四个结论:(1)函数f(x)=x-12x+1的对称中心是(-12,-12);(2)若关于x的方程x-1x+k=0在x∈(0,1)没有实数根,则k的取值范

题型:填空题难度:一般来源:不详
给出以下四个结论:
(1)函数f(x)=
x-1
2x+1
的对称中心是(-
1
2
,-
1
2
)

(2)若关于x的方程x-
1
x
+k=0
在x∈(0,1)没有实数根,则k的取值范围是k≥2;
(3)已知点P(a,b)与点Q(1,0)在直线2x-3y+1=0两侧,当a>0且a≠1,b>0时,
b
a-1
的取值范围为(-∞,-
1
3
)∪(
2
3
,+∞)

其中正确的结论是:______.
答案
∵函数f(x)=
x-1
2x+1
=
1
2
x-1
x+
1
2
=
1
2
[1- 
3
2
x+
1
2
]
=-
3
4
x+
1
2
+
1
2

∴函数的对称中心是(-
1
2
1
2
)
,故(1)不正确.
令f(x)=x-
1
x
+k,函数是一个递增函数,
当x∈(0,1)时,
函数的值从负无穷变化到接近于0,
∴当k≥2时,函数与x轴有交点,故(2)不正确,
点P(a,b)与点Q(1,0)在直线2x-3y+1=0两侧,
即直线与线段PQ有交点,
根据要求的结果是PQ两点连线的斜率,
得到斜率范围为(-∞,-
1
3
)∪(
2
3
,+∞)
,故(3)正确,
故答案为:(3)
举一反三
设函数f(x)=
1
3
x3
-ax(a>0),g(x)=bx2+2b-1.
(I)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求a,b的值;
(II)当a=1-2b时,若函数f(x)+g(x)在区间(-2,0)内恰有两个零点,求a的取值范围;
(III)当a=1-2b=1时,求函数f(x)+g(x)在区间[t,t+3]上的最大值.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知n∈N*,设函数fn(x)=1-x+
x2
2
-
x3
3
+…-
x2n-1
2n-1
,x∈R

(1)求函数y=f2(x)-kx(k∈R)的单调区间;
(2)是否存在整数t,对于任意n∈N*,关于x的方程fn(x)=0在区间[t,t+1]上有唯一实数解?若存在,求t的值;若不存在,说明理由.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,π≤φ<2π)为偶函数,且其图象上相邻最高点与最低点之间的距离为


4+π2

(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)在区间[0,4π]内的所有零点之和.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=
1
2
x-cosx则方程f(x)=
π
4
所有根的和为______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
设函数f(x)=
1
3
x3+
a-1
2
x2-ax+a
,其中a>0.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若方程f(x)=0在(0,2)内恰有两个实数根,求a的取值范围;
(3)当a=1时,设函数f(x)在[t,t+2](t∈(-3,-2))上的最大值为H(t),最小值为h(t),记g(t)=H(t)-h(t),求函数g(t)的最小值.
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