已知函数f(x)=sin2x+acos2x(a∈R,a为常数),且π4是函数y=f(x)的零点.(1)求a的值,并求函数f(x)的最小正周期;(2)若x∈[0,
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已知函数f(x)=sin2x+acos2x(a∈R,a为常数),且π4是函数y=f(x)的零点.(1)求a的值,并求函数f(x)的最小正周期;(2)若x∈[0,
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数f(x)=sin2x+acos
2
x(a∈R,a为常数),且
π
4
是函数y=f(x)的零点.
(1)求a的值,并求函数f(x)的最小正周期;
(2)若x∈[0,
π
2
],求函数f(x)的值域,并写出f(x)取得最大值时x的值.
答案
(1)由于
π
4
是函数y=f(x)的零点,即x=
π
4
是方程f(x)=0的解,
从而f(
π
4
)=sin
π
2
+acos
2
π
4
=0,
则1+
1
2
a=0,解得a=-2.
所以f(x)=sin2x-2cos
2
x=sin2x-cos2x-1,
则f(x)=
2
sin(2x-
π
4
)-1,
所以函数f(x)的最小正周期为π.
(2)由x∈[0,
π
2
],得2x-
π
4
∈[-
π
4
,
3π
4
],
则sin(2x-
π
4
)∈[-
2
2
,1],
则-1≤
2
sin(2x-
π
4
)≤
2
,
-2≤
2
sin(2x-
π
4
)-1≤
2
-1,
∴值域为[-2,
2
-1].
当2x-
π
4
=2kπ+
π
2
(k∈Z),
即x=kπ+
3
8
π时,
f(x)有最大值,又x∈[0,
π
2
],
故k=0时,x=
3
8
π,
f(x)有最大值
2
-1.
举一反三
已知函数
f(x)=
1
3
a
x
3
+
1
2
b
x
2
+cx
.(a≠0)
(1)若函数f(x)有三个零点x
1
,x
2
,x
3
,且
x
1
+
x
2
+
x
3
=
9
2
,x
1
x
3
=-12,求函数 y=f(x)的单调区间;
(2)若
f′(1)=-
1
2
a
,3a>2c>2b,试问:导函数f′(x)在区间(0,2)内是否有零点,并说明理由.
(3)在(Ⅱ)的条件下,若导函数f′(x)的两个零点之间的距离不小于
3
,求
b
a
的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知符号函数sgn(x)=
1,x>0
0,x=0
-1,x<0
,则函数f(x)=sgn(lnx)-lnx的零点个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
题型:单选题
难度:简单
|
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设函数f(x)=-x
3
-2mx
2
-m
2
x+1-m(其中m>-2)的图象在x=2处的切线与直线x-5y-12=0垂直.
(Ⅰ)求函数f(x)的极值与零点;
(Ⅱ)设g(x)=
1-x
kx
+lnx,若对任意x
1
∈[0,1],存在x
2
∈(0,1],使f(x
1
)>g(x
2
)成立,求实数k的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
已知函数f(x)=x
2
-(a+2)x+alnx,其中常数a>0.
(1)当a>2时,求函数f(x)的单调递增区间;
(2)当a=4时,若函数y=f(x)-m有三个不同的零点,求m的取值范围;
(3)设定义在D上的函数y=h(x)在点p(x
0
,h(x
0
))处的切线方程为l:y=g(x),当x≠x
0
时,若
h(x)-g(x)
x-
x
0
>0
在D内恒成立,则称P为函数y=h(x)的“类对称点”,请你探究当a=4时,函数y=f(x)是否存在“类对称点”,若存在,请最少求出一个“类对称点”的横坐标;若不存在,说明理由.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知函数f(x)=x
2
+ax+1,若
∃θ∈(
π
4
,
π
2
),f(sinθ)=f(cosθ)
,则实数a的取值范围为______.
题型:填空题
难度:一般
|
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