将方程ax2+=3x改写为=3x-ax2,令y1=,y2=3x-ax2. “关于实数x的方程ax2+=3x的所有解中,仅有一个正数解”等价于“双曲线y1=与y2=3x-ax2的图象在y轴右侧只有一个交点”. 双曲线y1=在第一、三象限内. 当a>0时,抛物线y2=3x-ax2的开口向下且过原点(0,0)及x轴正半轴上的点(,0),研究知,当a<2时,双曲线y1=与抛物线y2=3x-ax2在第一象限内有两个交点,当a>2时,两曲线在第一象限无交点,当a=2进,两曲线仅有一个交点,故a=2符合题意. 当a=0时,y2=3x-ax2=3x为直线,此时,双曲线y1=与直线y2=3x在第一象限内只有一个交点,故a=0符合题意. 当a<0时,抛物线y2=3x-ax2的开口向上且过原点(0,0)及x轴负半轴上的点(,0),此时,双曲线y1=与抛物线y2=3x-ax2在第一象限内仅有一个交点,故a<0符合题意. 综上所述,实数a的取值范围为(-∞,0]∪{2}. 故答案为:(-∞,0]∪{2}. |