已知函数f(x)=(ax2+x)ex,其中e是自然对数的底数,a∈R.(1)当a>0时,解不等式f(x)≤0;(2)当a=0时,求整数t的所有值,使方程f(x)
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=(ax2+x)ex,其中e是自然对数的底数,a∈R. (1)当a>0时,解不等式f(x)≤0; (2)当a=0时,求整数t的所有值,使方程f(x)=x+2在[t,t+1]上有解; (3)若f(x)在[-1,1]上是单调增函数,求a的取值范围. |
答案
(1)因为ex>0,所以不等式f(x)≤0即为ax2+x≤0, 又因为a>0,所以不等式可化为x(x+)≤0,所以不等式f(x)≤0的解集为[-,0]. (2)当a=0时,方程即为xex=x+2,由于ex>0,所以x=0不是方程的解,所以原方程等价于ex--1=0, 令h(x)=ex--1,因为h′(x)=ex+>0对于x≠0恒成立, 所以h(x)在(-∞,0)和(0,+∞)内是单调增函数, 又h(1)=e-3<0,h(2)=e2-2>0,h(-3)=e-3-<0,h(-2)=e-2>0, 所以方程f(x)=x+2有且只有两个实数根,且分别在区间[1,2]和[-3,-2]上,所以整数t的所有值为{-3,1}. (3)f′(x)=[ax2+(2a+1)x+1]ex, ①当a=0时,f′(x)=(x+1)ex,f′(x)≥0在[-1,1]上恒成立,当且仅当x=-1时取等号,故a=0符合要求; ②当a≠0时,令g(x)=ax2+(2a+1)x+1, 因为△=(2a+1)2-4a=4a2+1>0,所以g(x)=0有两个不相等的实数根x1,x2, 不妨设x1>x2,因此f(x)有极大值又有极小值. 若a>0,因为g(-1)g(0)=-a<0,所以f(x)在(-1,1)内有极值点,故f(x)在[-1,1]上不单调. 若a<0,可知x1>0>x2, 因为g(x)的图象开口向下,要使f(x)在[-1,1]上单调, 因为g(0)=1>0,所以必须满足,即,所以-≤a≤0. 综上可知,a的取值范围是[-,0]. |
举一反三
已知函数f(x)=的图象与直线x=a,(a∈R)的公共点个数为( ) |
设函数f(x)=x2+(m-1)x+1在区间[0,2]上有两个零点,则实数m的取值范围是______. |
已知向量=(sinx,cosx),=(cosx,-cosx),设函数f(x)=•(+). (1)求f(x)的最小正周期; (2)求f(x)的单调增区间; (3)若函数g(x)=f(x)-k,x∈[0,],其中k∈R,试讨论函数g(x)的零点个数. |
若方程x2+3x-m=0的两个实数根都大于-2,则实数m的取值范围是______. |
已知不等式ax2+bx+c>0的解集为(1,t),记函数f(x)=ax2+(a-b)x-c. (1)求证:函数y=f(x)必有两个不同的零点. (2)若函数y=f(x)的两个零点分别为m,n,求|m-n|的取值范围. (3)是否存在这样实数的a、b、c及t,使得函数y=f(x)在[-2,1]上的值域为[-6,12].若存在,求出t的值及函数y=f(x)的解析式;若不存在,说明理由. |
最新试题
热门考点