(Ⅰ)∵fn(x)=xn+bx+c, ∴fn′(x)=nxn-1+b ∵b>0,x>0,n∈N+ ∴fn′(x)>0 ∴函数fn(x)在(0,+∞)上的单调递增; (Ⅱ)证明:由n>2,b=1,c=-1,得fn(x)=xn+x-1 ∴fn′(x)=nxn-1+1>0在(,1)上恒成立, ∴fn(x)=xn+x-1在(,1)单调递增, ∵fn(1)=1>0,fn()=()n-<0, ∴fn(x)在区间(,1)内存在唯一的零点; (Ⅲ)当n=2时,f2(x)=x2+bx+c ①当b≥2或b≤-2时,即-≤-1或-≥1,此时只需满足|f2(1)-f2(-1)|=|2b|≤4 ∴-2≤b≤2,即b=±2; ②当0≤b<2时,即-1<-≤0,此时只需满足f2(1)-f2(-)≤4,即b2+4b-12≤0 解得:-6≤b≤2,即b∈[0,2) ③当-2<b<0时,即0<-<1,此时只需满足f2(-1)-f2(-)≤4,即b2-4b-12≤0 解得:-2≤b≤6,即b∈(-2,0) 综上所述:b∈[-2,2]. |