设函数f(x)=13x3+12(m-1)x2+x+2（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，2）内有2个极值点，求实数m的取值范围．

题型：解答题难度：一般来源：河北区一模

设函数f(x)=

1

3

x3+

1

2

(m-1)x2+x+2
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，2）内有2个极值点，求实数m的取值范围．

答案

（Ⅰ）f"（x）=x²+（m+1）x+1，…（2分）
①当△≤0，即（m-1）²-4≤0，-1≤m≤3时，
函数f（x）在（-∞，+∞）内单调递增；…（4分）
②当△＞0，即m＜-1或m＞3时，
令f"（x）=0，解得x=

1-m± m2-2m-3

2

，…（6分）
所以，函数f（x）在(-∞，

1-m- m2-2m-3

2

)内单调递增；
在(

1-m- m2-2m-3

2

，

1-m+ m2-2m-3

2

)内单调递减；
在(

1-m+ m2-2m-3

2

，+∞)内单调递增．…（8分）
（Ⅱ）若f"（x）=0在区间（0，2）内有两个不等实根，
得

△＞0 0＜ 1-m 2 ＜2 f(2)＞0 f(1)＞0.

，解得-

3

2

＜m＜-1．…（13分）