设函数f(x)=x3-4x+a(0<a<2)有三个零点x1、x2、x3,且x1<x2<x3,则下列结论正确的是( )A.x1>-1B.x2<0C.0<x2<1
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设函数f(x)=x3-4x+a(0<a<2)有三个零点x1、x2、x3,且x1<x2<x3,则下列结论正确的是( )A.x1>-1B.x2<0C.0<x2<1
题型:单选题
难度:简单
来源:惠州模拟
设函数f(x)=x
3
-4x+a(0<a<2)有三个零点x
1
、x
2
、x
3
,且x
1
<x
2
<x
3
,则下列结论正确的是( )
A.x
1
>-1
B.x
2
<0
C.0<x
2
<1
D.x
3
>2
答案
∵函数f (x)=x
3
-4x+a,0<a<2,
∴f′(x)=3x
2
-4.令f′(x)=0,得 x=±
2
3
3
.
∵当x<-
2
3
3
时,f′(x)>0;
在(-
2
3
3
,
2
3
3
)上,f′(x)<0;
在(
2
3
3
,+∞)上,f′(x)>0.
故函数在(-∞,-
2
3
3
)上是增函数,在(-
2
3
3
,
2
3
3
)上是减函数,在(
2
3
3
,+∞)上是增函数.
故f(-
2
3
3
)是极大值,f(
2
3
3
)是极小值.
再由f (x)的三个零点为x
1
,x
2
,x
3
,且x
1
<x
2
<x
3
,
得 x
1
<-
2
3
3
,-
2
3
3
<x
2
2
3
3
,x
3
>
2
3
3
.
根据f(0)=a>0,且f(
2
3
3
)=a-
16
3
9
<0,得
2
3
3
>x
2
>0.
∴0<x
2
<1.
故选C.
举一反三
已知函数f(x)=2sinx-x+k在区间
[0,
π
2
]
上有两个零点,则实数k的取值范围是______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
已知函数f(x)=ln(
1
2
+
1
2
ax)+x
2
-ax (a为常数,a>0)
(1)当a=1时,求函数f(x)在x=1处的切线方程;
(2)当y=f(x)在x=
1
2
处取得极值时,若关于x的方程f(x)-b=0在[0,2]上恰有两个不相等的实数根,求实数b的取值范围;
(3)若对任意的a∈(1,2),总存在x
0
∈[
1
2
,1],使不等式f(x
0
)>m(a
2
+2a-3)成立,求实数m的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知a>0且a≠1,函数f(x)=log
a
(x+1),
g(x)=lo
g
a
1
1-x
,记F(x)=2f(x)+g(x)
(1)求函数F(x)的定义域D及其零点;
(2)若关于x的方程F(x)-m=0在区间[0,1)内有解,求实数m的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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函数f(x)=e
x
+x
2
-2在区间(-2,1)内零点的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
题型:单选题
难度:一般
|
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设a>0,函数f(x)=lnx-ax,g(x)=lnx-
2(x-1)
x+1
(1)证明:当x>1时,g(x)>0恒成立;
(2)若函数f(x)无零点,求实数a的取值范围;
(3)若函数f(x)有两个相异零点x
1
、x
2
,求证:x
1
x
2
>e
2
.
题型:解答题
难度:一般
|
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