已知函数f(x)满足f(x)=2f(1x),当x∈[1,3]时,f(x)=lnx,若在区间[13,3]内,函数g(x)=f(x)-ax,有三个不同的零点,则实数

已知函数f(x)满足f(x)=2f(1x),当x∈[1,3]时,f(x)=lnx,若在区间[13,3]内,函数g(x)=f(x)-ax,有三个不同的零点,则实数

题型:单选题难度:一般来源:温州一模
已知函数f(x)满足f(x)=2f(
1
x
)
,当x∈[1,3]时,f(x)=lnx,若在区间[
1
3
,3]
内,函数g(x)=f(x)-ax,有三个不同的零点,则实数a的取值范围是(  )
A.[
ln3
3
1
e
)
B.[
ln3
3
2
e
)
C.(0,
1
2e
)
D.(0,
1
e
)
答案
在区间[
1
3
,3]
内,函数g(x)=f(x)-ax,有三个不同的零点,
①a>0若x∈[1,3]时,f(x)=lnx,可得g(x)=lnx-ax,(x>0)
g′(x)=
1
x
-a=
1-ax
x

若g′(x)<0,可得x>
1
a
,g(x)为减函数,
若g′(x)>0,可得x<
1
a
,g(x)为增函数,
此时f(x)必须在[1,3]上有两个交点,





g(
1
a
)>0
g(3)≤0
g(1)≤0
,解得,
ln3
3
≤a<
1
e

1
3
<x<1,可得1<
1
x
<3,
f(x)=2f(
1
x
)
=2ln
1
x
,此时g(x)=-2lnx-ax,
g′(x)=-
2+ax
x

若g′(x)>0,可得x<-
1
a
<0,g(x)为增函数
若g′(x)<0,可得x>-
1
a
,g(x)为减函数,
在[
1
3
,1]上有一个交点,则





g(-
2
a
)>0
g(
1
3
)≥0
g(1)≤0
,解得0<a≤6ln3②
综上①②可得
ln3
3
≤a<
1
e

②若a<0,对于x∈[1,3]时,g(x)=lnx-ax>0,没有零点,不满足在区间[
1
3
,3]
内,函数g(x)=f(x)-ax,有三个不同的零点,
综上:
ln3
3
≤a<
1
e

故选A;
举一反三
在平面直角坐标系中,函数y=cosx和函数y=tanx的定义域都是(-
π
2
π
2
),它们的交点为P,则点P的纵坐标为(  )
A.


-1+


5
2
B.
-1+


5
2
C.


2
2
D.


3
2
题型:单选题难度:简单| 查看答案
函数f(x)=(1+x-
x2
2
+
x3
3
-
x4
4
+…-
x2012
2012
+
x2013
2013
) cos2x在区间[-3,3]上的零点的个数为(  )
A.3B.4C.5D.6
题型:单选题难度:简单| 查看答案
关于x的方程ax2+2x-1=0至少有一个正的实根,则a的取值范围是(  )
A.a≥0B.-1≤a<0
C.a>0或-1<a<0D.a≥-1
题型:单选题难度:简单| 查看答案
已知x0函数f(x)=(
1
3
)x-log2x
的零点,若0<x1<x0,则f(x1)的值为(  )
A.恒为负值B.等于0C.恒为正值D.不大于0
题型:单选题难度:一般| 查看答案
设函数f(x)=-2x3-x+1,x∈[m,n]且f(m)f(n)<0则方程f(x)=0在[m,n]上(  )
A.至少有三个实数根B.至少有两个实数根
C.有且只有一个实数根D.无实数根
题型:单选题难度:一般| 查看答案
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