已知函数f(x)=(x2-mx+m)•ex(m∈R).(Ⅰ)若函数f(x)存在零点,求实数m的取值范围;(Ⅱ)当m<0时,求函数f(x)的单调区间;并确定此时f
题型:解答题难度:一般来源:西城区一模
已知函数f(x)=(x2-mx+m)•ex(m∈R). (Ⅰ)若函数f(x)存在零点,求实数m的取值范围; (Ⅱ)当m<0时,求函数f(x)的单调区间;并确定此时f(x)是否存在最小值,如果存在,求出最小值,如果不存在,请说明理由. |
答案
(Ⅰ)设f(x)有零点,即函数g(x)=x2-mx+m有零点, 所以m2-4m≥0,解得m≥4或m≤0. (Ⅱ)f"(x)=(2x-m)•ex+(x2-mx+m)•ex=x(x-m+2)ex, 令f"(x)=0,得x=0或x=m-2, 因为m<0时,所以m-2<0, 当x∈(-∞,m-2)时,f"(x)>0,函数f(x)单调递增; 当x∈(m-2,0)时,f"(x)<0,函数f(x)单调递减; 当x∈(0,+∞)时,f"(x)>0,函数f(x)单调递增. 此时,f(x)存在最小值.f(x)的极小值为f(0)=m<0. 根据f(x)的单调性,f(x)在区间(m-2,+∞)上的最小值为m, 解f(x)=0,得f(x)的零点为x1=和x2=, 结合f(x)=(x2-mx+m)•ex, 可得在区间(-∞,x1)和(x2,+∞)上,f(x)>0 因为m<0,所以x1<0<x2, 并且x1-(m-2)=-m+2=> ===1>0, 即x1>m-2, 综上,在区间(-∞,x1)和(x2,+∞)上,f(x)>0,f(x)在区间(m-2,+∞)上的最小值为m,m<0, 所以,当m<0时f(x)存在最小值,最小值为m. |
举一反三
已知方程7x2-(k+13)x+k2-k-2=0有2个不等实根x1,x2,且0<x1<1<x2<2,则实数k的取值范围是______. |
已知函数f(x)=log2(a-2x)+x-2,若f(x)存在零点,则实数a的取值范围是( )A.(-∞,-4]∪[4,+∞) | B.[1,+∞) | C.[2,+∞) | D.[4,+∞) |
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下列函数中,在(0,)上有零点的函数是( )A.f(x)=sinx-x | B.f(x)=sinx-x | C.f(x)=sin2x-x | D.f(x)=sin2x-x |
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将函数y=x2-x-的图象按向量平移后的图象的解析式为y=x2,则等于( )A.(, ) | B.(, -) | C.(-, ) | D.(-, -) |
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若函数f(x)唯一的一个零点同时在区间(0,16)、(0,8)、(0,4)、(0,2)内,下列结论: (1)函数f(x)在区间(0,1)内有零点; (2)函数f(x)在区间(0,1)或(1,2)内有零点; (3)函数f(x)在区间[2,16)内无零点; (4)函数f(x)在区间(0,16)上单调递增或递减. 其中正确的有 ______(写出所有正确结论的序号). |
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