已知函数.(Ⅰ)讨论函数的单调性; (Ⅱ)设,证明:对任意,.

已知函数.(Ⅰ)讨论函数的单调性; (Ⅱ)设,证明:对任意,.

题型:解答题难度:简单来源:不详
已知函数.
(Ⅰ)讨论函数的单调性;
(Ⅱ)设,证明:对任意.
答案
(Ⅰ)分类讨论得到单调性      (Ⅱ)构造函数用导数的方法证明.      
解析

试题分析:(Ⅰ) f(x)的定义域为(0,+),  
当a≥0时,>0,故f(x)在(0,+)单调增加;
当a≤-1时,<0, 故f(x)在(0,+)单调减少;
当-1<a<0时,令=0,解得x=.当x∈(0, )时, >0;
x∈(,+)时,<0, 故f(x)在(0, )单调增加,在(,+)单调减少   
(Ⅱ)不妨设x1≥x2.由于a≤-2,故f(x)在(0,+)单调减少.
所以等价于≥4x1-4x2,
即f(x2)+ 4x2≥f(x1)+ 4x1.         
令g(x)=f(x)+4x,则+4=.               
于是≤0.
从而g(x)在(0,+)单调减少,故g(x1) ≤g(x2),即 f(x1)+ 4x1≤f(x2)+ 4x2
故对任意x1,x2∈(0,+) ,.
点评:本题考查利用导数研究函数的单调性及函数的最值问题,考查分类讨论思想,考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力,属难题.
举一反三
已知函数
(1)判断函数上的单调;
(2)若上的值域是,求的值.
题型:解答题难度:简单| 查看答案
函数f(x)=x(1-x),x∈(0,1)的最大值为          
题型:填空题难度:简单| 查看答案
(1)化简
(2)已知,求的值.
题型:解答题难度:简单| 查看答案
已知函数
(1)若,求的范围;   (2)不等式对任意恒成立,求实数的取值范围。
题型:解答题难度:简单| 查看答案
设S,T是R的两个非空子集,如果存在一个从S到T的函数满足:
(i)(ii)对任意
那么称这两个集合“保序同构”,现给出以下3对集合:



其中,“保序同构”的集合对的序号是_______.(写出“保序同构”的集合对的序号).
题型:填空题难度:简单| 查看答案
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