已知函数. (1)证明函数的图像关于点对称;(2)若,求;(3)在(2)的条件下,若 ,为数列的前项和,若对一切都成立,试求实数的取值范围.
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已知函数. (1)证明函数的图像关于点对称;(2)若,求;(3)在(2)的条件下,若 ,为数列的前项和,若对一切都成立,试求实数的取值范围.
题型:解答题
难度:简单
来源:不详
已知函数
.
(1)证明函数
的图像关于点
对称;
(2)若
,求
;
(3)在(2)的条件下,若
,
为数列
的前
项和,若
对一切
都成立,试求实数
的取值范围.
答案
(1)函数
的定义域为
,设
、
是函数
图像上的两点, 其中
且
,则有
,因此函数图像关于点
对称(2)
(3)
解析
试题分析:(1) 证明:因为函数
的定义域为
, 设
、
是函数
图像上的两点, 其中
且
,
则有
因此函数图像关于点
对称 4分
(2)由(1)知当
时,
①
②
①+②得
8分
(3)当
时,
当
时,
,
当
时,
=
∴
(
)
又
对一切
都成立,即
恒成立
∴
恒成立,又设
,
所以
在
上递减,所以
在
处取得最大值
∴
,即
所以
的取值范围是
12分
点评:证明函数
关于点
对称只需证明
,第二问数列求和结合通项的特点采用倒序相加法,第三问将不等式恒成立转化为求函数最值,进而可借助于导数求解
举一反三
已知二次函数
f
(
x
)有两个零点0和-2,且
f
(
x
)最小值是-1,函数
g
(
x
)与
f
(
x
)的图像关于原点对称.
(1)求
f
(
x
)和
g
(
x
)的解析式;
(2)若
h
(
x
)=
f
(
x
)-
λg
(
x
)在区间[-1,1]上是增函数,求实数
λ
的取值范围.
题型:解答题
难度:简单
|
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已知函数
(1)若
,解不等式
;
(2)解关于
的不等式
题型:解答题
难度:简单
|
查看答案
已知
,
(1)当
时,解不等式
;
(2)若
,解关于
的不等式
。
题型:解答题
难度:简单
|
查看答案
定义运算
,函数
图像的顶点是
,且
成等差数列,则
( )
A.0
B.-14
C.-9
D.-3
题型:单选题
难度:简单
|
查看答案
判断y=1-2x
3
在
上的单调性,并用定义证明.
题型:解答题
难度:简单
|
查看答案
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