(本小题满分分)已知函数(,是不同时为零的常数).(1)当时,若不等式对任意恒成立,求实数的取值范围;(2)求证:函数在内至少存在一个零点.
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(本小题满分分)已知函数(,是不同时为零的常数).(1)当时,若不等式对任意恒成立,求实数的取值范围;(2)求证:函数在内至少存在一个零点.
题型:解答题
难度:简单
来源:不详
(本小题满分
分)已知函数
(
,
是不同时为零的常数).
(1)当
时,若不等式
对任意
恒成立,求实数
的取值范围;
(2)求证:函数
在
内至少存在一个零点.
答案
(1)
(2)
时易证结论;
时,利用函数的零点存在定理可以证明结论成立.
解析
试题分析:(1)当
时,
,
由不等式
即
对任意
恒成立,
得
,解得
. ……5分
(2)证明:当
时,因为
,
不同时为零,所以
,
所以
的零点为
, ……6分
当
时,二次函数
的对称轴方程为
, ……7分
①若
即
时,
,
∴函数
在
内至少存在一个零点. ……10分
②若
即
时,
,
∴函数
在
内至少存在一个零点. ……13分
综上得:函数
在
内至少存在一个零点. ……14分
点评:恒成立问题,一般转化为最值问题解决,而函数的零点存在定理能确定一定存在零点,但是确定不了存在几个零点.
举一反三
(本题满分13分)设函数
,且
,
,求证:(1)
且
;
(2)函数
在区间
内至少有一个零点;
(3)设
是函数
的两个零点,则
.
题型:解答题
难度:简单
|
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(本小题满分14分)
已知函数f (x)=e
x
,g(x)=lnx,h(x)=kx+b.
(1)当b=0时,若对
x∈(0,+∞)均有f (x)≥h(x)≥g(x)成立,求实数k的取值范围;
(2)设h(x)的图象为函数f (x)和g(x)图象的公共切线,切点分别为(x
1
, f (x
1
))和(x
2
, g(x
2
)),其中x
1
>0.
①求证:x
1
>1>x
2
;
②若当x≥x
1
时,关于x的不等式ax
2
-x+xe
+1≤0恒成立,求实数a的取值范围.
题型:解答题
难度:简单
|
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设定义在
上的函数
是最小正周期为
的偶函数,当
时,
,且在
上单调递减,在
上单调递增,则函数
在
上的零点个数为
.
题型:填空题
难度:简单
|
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对
,定义
,则函数
是( )
A.奇函数但非偶函数;
B.偶函数但非奇函数;
C.既是奇函数又是偶函数;
D.非奇非偶函数
题型:单选题
难度:简单
|
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已知函数
在
是增函数,
在(0,1)为减函数.
(I)求
、
的表达式;
(II)求证:当
时,方程
有唯一解;
(Ⅲ)当
时,若
在
∈
内恒成立,求
的取值范围.
题型:解答题
难度:简单
|
查看答案
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