如图,某新建小区有一片边长为1(单位:百米)的正方形剩余地块ABCD,中间部分MNK是一片池塘,池塘的边缘曲线段MN为函数y=29x(13≤x≤23)的图象,另

如图,某新建小区有一片边长为1(单位:百米)的正方形剩余地块ABCD,中间部分MNK是一片池塘,池塘的边缘曲线段MN为函数y=29x(13≤x≤23)的图象,另

题型:解答题难度:一般来源:不详
如图,某新建小区有一片边长为1(单位:百米)的正方形剩余地块ABCD,中间部分MNK是一片池塘,池塘的边缘曲线段MN为函数y=
2
9x
(
1
3
≤x≤
2
3
)
的图象,另外的边缘是平行于正方形两边的直线段.为了美化该地块,计划修一条穿越该地块的直路(宽度不计),直路l与曲线段MN相切(切点记为P),并把该地块分为两部分.记点P到边AD距离为t,f(t)表示该地块在直路左下部分的面积.
(1)求f(t)的解析式;
(2)求面积S=f(t)的最大值.
答案
(1)因为y=
2
9x
,所以y′=-
2
9x2
,又P(t,
2
9t
),
所以过点P的切线方程为y-
2
9t
=-
2
9t2
(x-t)
,即y=-
2
9t2
x+
4
9t

令x=0,得y=
4
9t
,令y=0,得x=2t.
所以切线与x轴交点E(2t,0),切线与y轴交点F(0,
4
9t
)

①当





2t≤1
4
9t
≤1
1
3
≤t≤
2
3
,即
4
9
≤t≤
1
2
时,切线左下方的区域为一直角三角形,
所以f(t)=
1
2
×2t×
4
9t
=
4
9

②当





2t>1
4
9t
≤1
1
3
≤t≤
2
3
,即
1
2
<t≤
2
3
时,切线左下方的区域为一直角梯形,
f(t)=
1
2
(
4
9t
+
4t-2
9t2
)•1=
4t-1
9t2

③当





2t≤1
4
9t
>1
1
3
≤t≤
2
3
,即
1
3
≤t<
4
9
时,切线左下方的区域为一直角梯形,
所以f(t)=
1
2
(
4t-9t2
2
+2t)•1=2t-
9
4
t2

综上f(t)=





2t-
9
4
t2
1
3
≤t<
4
9
4
9
4
9
≤t≤
1
2
4t-1
9t2
1
2
<t≤
2
3

(2)当
1
3
≤t<
4
9
时,f(t)=2t-
9
4
t2
=-
9
4
(t-
4
9
)2+
4
9
4
9

1
2
<t≤
2
3
时,f(t)=
4t-1
9t2
=-
1
9
(
1
t
-2)2+
4
9
4
9

所以Smax=
4
9

所以面积S=f(t)的最大值为
4
9
举一反三
已知矩形纸片ABCD中,AB=6cm,AD=12cm,将矩形纸片的右下角折起,使该角的顶点B落在矩形的边AD上,且折痕MN的两端点M、N分别位于边AB、BC上,设∠MNB=θ,MN=l.
(1)试将l表示成θ的函数;
(2)求l的最小值.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
若函数f(x)=a-x(a>0,a≠1)是定义域为R的增函数,则函数f(x)=loga(x+1)的图象大致是(  )
A.B.
C.D.
题型:单选题难度:简单| 查看答案
如图,公园内有一块边长为2a的正三角形ABC空地,拟改建成花园,并在其中建一直道DE方便花园管理.设D、E分别在AB、AC上,且DE均分三角形ABC的面积.
(1)设AD=x(x≥a),DE=y,试将y表示为x的函数关系式;
(2)若DE是灌溉水管,为节约成本,希望其最短,DE的位置应在哪里?若DE是参观路线,希望其最长,DE的位置应在哪里?
题型:解答题难度:一般| 查看答案
某公司生产的A型商品通过租赁柜台进入某商场销售.第一年,商场为吸引厂家,决定免收该年管理费,因此,该年A型商品定价为每件70元,年销售量为11.8万件.第二年,商场开始对该商品征收比率为p%的管理费(即销售100元要征收p元),于是该商品的定价上升为每件
70
1-p%
元,预计年销售量将减少p万件.
(1)将第二年商场对该商品征收的管理费y(万元)表示成p的函数,并指出这个函数的定义域;
(2)要使第二年商场在此项经营中收取的管理费不少于14万元,则商场对该商品征收管理费的比率p%的范围是多少?
(3)第二年,商场在所收管理费不少于14万元的前提下,要让厂家获得最大销售金额,则p应为多少?
题型:解答题难度:一般| 查看答案
函数y=(
1
2
)x2+2x
的单调增区间为(  )
A.[-1,+∞)B.(-∞,-1]C.(-∞,+∞)D.(-∞,0]
题型:单选题难度:简单| 查看答案
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