某隧道长2150米,通过隧道的车速不能超过20米/秒.一个由55辆车身都为10米的同一车型组成的运输车队匀速通过该隧道.设车队的速度为x米/秒,根据安全和车流的

某隧道长2150米,通过隧道的车速不能超过20米/秒.一个由55辆车身都为10米的同一车型组成的运输车队匀速通过该隧道.设车队的速度为x米/秒,根据安全和车流的

题型:解答题难度:一般来源:衡阳模拟
某隧道长2150米,通过隧道的车速不能超过20米/秒.一个由55辆车身都为10米的同一车型组成的运输车队匀速通过该隧道.设车队的速度为x米/秒,根据安全和车流的需要,相邻两车均保持(
a
6
x2+
1
3
x)
米的距离,其中a为常数且
1
2
≤a≤1
,自第一辆车车头进入隧道至第55辆车车尾离开隧道所用时间为y(秒).
(1)将y表示为x的函数;
(2)求车队通过隧道所用时间取最小值时车队的速度.
答案
(1)依题意,自第一辆车车头进入隧道至第55辆车车尾离开隧道所用时间y等于隧道长加车长加车的间隙长,除以火车的速度x米/秒,
即  y=
2150+10×55+(
a
6
x2+
1
3
x)×(55-1)
x

=
2700
x
+9ax+18
    (0<x≤20,
1
2
≤a≤1)
(2)令
2700
x
=9ax
,得x=


300
a
,又由


300
a
=20,得a=
3
4

∴①当
3
4
≤a≤1时,


300
a
≤20
由均值定理知当且仅当x=


300
a
时,y=
2700
x
+9ax+18
≥2


2700
x
×9ax
+18=180


3a
+18
即当x=


300
a
时,ymin=180


3a
+18
②当
1
2
≤a<
3
4
时,


300
a
>20
∵y′=-
2700
x2
+9a<0,(0<x≤20)
∴函数y=
2700
x
+9ax+18
在(0,20]上是减函数,
∴当x=20时,ymin=
2700
20
+180a+18=153+180a
答:若
1
2
≤a<
3
4
,则当车队速度为20m/s时,通过隧道所用时间最少;若
3
4
≤a≤1,则当车队速度为


300
a
m/s时,通过隧道所用时间最少
举一反三
某商店进货每件50元,据市场调查,销售价格(每件x元)在50≤x≤80时,每天售出的件数P=
105
(x-40)2
.若想每天获得的利润最多,销售价格每件应定为多少元?
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知指数函数f(x)=ax(a>0,a≠1),且过点(2,4),f(x)的反函数记为y=g(x),则g(x)的解析式是(  )
A.g(x)=log4xB.g(x)=log2xC.g(x)=2xD.g(x)=4x
题型:单选题难度:一般| 查看答案
设a=40.8,b=80.4,c=(
1
2
)
-1.5
,则(  )
A.a>c>bB.b>a>cC.c>d>bD.a>b>c
题型:单选题难度:一般| 查看答案
在函数y=3x,y=log3x,y=tanx,y=sinx,y=cosx中,满足“对[0,1]中任意的x1,x2,都有f(
x1+x2
2
)≤
f(x1)+f(x2)
2
恒成立”个数是(  )
A.0个B.1个C.2个D.3个
题型:单选题难度:一般| 查看答案
已经三角形的三边分别是整数l,m,n,且l>m>n,已知{
3l
104
}={
3m
104
}={
3n
104
},其中{x}=x-[x],而[x]表示不超过x的最大整数.则这种三角形周长的最小值为______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
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