今有一无盖水箱，它是在边长为60的正方形铁板的四个角上，各截去相同的四个小正方形后，再经折起焊接而成的（焊口连接问题不予考虑）．（I）求水箱容积的表达式f（x）

题型：解答题难度：一般来源：不详

今有一无盖水箱，它是在边长为60的正方形铁板的四个角上，各截去相同的四个小正方形后，再经折起焊接而成的（焊口连接问题不予考虑）．
（I）求水箱容积的表达式f（x），并指出f（x）的定义域；
（II）若要使水箱的容积最大，求水箱的底边长．

答案

（I）由题意得，
∵设截去的小正方形的边长是x，
∴水箱的底边长为60-2x，水箱的高为x，
所以，水箱的容积是f（x）与x的函数关系式是：f（x）=（60-2x）²•x．
且f（x）的定义域为（0，30）
（II）由（I）中f（x）=（60-2x）²•x．
∴f′（x）=（60-2x）²•x=（60-2x）（60-6x），令
f′（x）=0，则x=10，或x=30（舍）
则当水箱底面为10时，水箱的容积最大．